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成都電子科技大學
2016 年攻讀碩士學位研究生入學考試試題
考試科目：835 線性代數
注意事項：所有答案必須寫在答卷紙上，否則答案無效。
符號說明: I 表示單位矩陣, *
A 表示伴隨矩陣, R 表示實數域.
一(15 分) 已知 3 階矩陣 ? ? ? ?1 2 1 2 1 2, , , , ,A B? ? ? ? ? ?? ? , 其中 1 2 1 2, , ,? ? ? ? 都是 3 維列向量.
若 4, 5A B? ? , 求 3 2A B? .
二(20 分) 是否存在滿足如下條件的矩陣? 如果有, 請寫出一個或一對這樣的矩陣(不必說明
理由). 如果沒有, 請說明理由.
(1) 兩個秩為 2 的矩陣 4 3A ? 與 3 4B ? 使得 AB O? .
(2) 3 階矩陣 C 使得 3
C O? , 但是 4
C O? .
(3) 2 階正交矩陣 F 和 G 使得 F G? 也是正交矩陣.
(4) 2 階矩陣 U, W 使得UW WU I? ? .
三(20 分) 設 2 階矩陣 A, B 滿足 3 2AB A B? ? .
(1) 證明: AB BA? . (2) 設
1 2
3 4
A? ? ?
? ? ?
? ?
, 求 B.
四(20分) 設
1 2
3 4
A
? ?
? ? ?
? ?
, 規定2階實矩陣線性空間 2 2?
R 上的線性變換 A? 為:
2 2 2 2 2 2
: , ,A B AB BA B? ? ? ?
? ? ? ?R R R? .
(1) 試計算線性變換 A? 在 2 2?
R 的標準基
1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
下的矩陣.
(2) 寫出線性變換 A? 的像空間 Im A? 與核空間 Ker A? .
五(15分) 已知非齊次線性方程組 ? ?
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3,
2 4 5 6,
2 3
x x x
x a x x
x x ax
? ? ??
?
? ? ? ??
?? ? ? ? ??
有3個線性無關的解, 求 a 的值
以及原方程組的通解.
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六(20 分) 設
1 1
1 1
4 5 ,
2 3 ,
n n n
n n n
x x y
y x y
? ?
? ?
? ??
?
? ??
, 且 0 02, 1x y? ? , 求 100x .
七(20 分). (1) 設 ? ? ? ? 3
1, 3, 4 , 5, 0, 1
T T
? ?? ? ? ?R , 試求一個 3 階正交矩陣 A 使得 A? ?? (不
用寫求解過程).
(2) 設非零向量 , n
? ? ?R . 證明: 存在正交矩陣 A 使得 A? ?? 當且僅當 0T T
? ? ? ?? ? .
八(20 分). 設 A 是 3 階實對稱矩陣, 各行元素之和均為 0, 且 ? ?2 2R I A? ? , 3A I? 不可逆.
(1) 1T
X AX ? 表示什么樣的二次曲面? 為什么? (2) 求伴隨矩陣 *
A .
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