北京科技大學613數學分析考研大綱

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2018 年北京科技大學招收碩士研究生考研大綱
《數學分析》考研大綱
一.課程教學基本要求
1．課程重點：
各章的重點依次為：實數集的性質，確界的概念、確界原理；數列極限的定義、性質及
計算；函數極限的概念、性質及計算；函數連續性的概念和閉區間上連續函數的性質；導數
與微分的概念及其計算；微分中值定理, 泰勞公式, 利用導數研究函數的單調性,極值與凸性；
實數完備性基本定理的證明和應用；換元積分法和分部積分法；函數可積性條件；定積分的
幾何應用和物理應用；反常積分的收斂判別法；級數斂散性概念和正項級數收斂判別法；函
數列一致收斂的概念，極限函數與和函數的分析性質；冪級數的收斂半徑、收斂區間，函數
展為冪級數；將函數展為傅里葉級數；平面點集的有關概念，多元函數極限與連續性概念，
二重極限與累次極限的關系；偏導數、全微分的概念及它們之間的關系，多元函數的極值；
隱函數微分法和多元函數的條件極值；含參量反常積分的一致收斂性判別，含參量反常積分
的性質；兩類曲線積分的概念與計算；二重積分的概念、性質，格林公式及應用，曲線積分
與路線無關的幾個重要條件，二重積分和三重積分的計算；第一型和第二型曲面積分的定義、
計算，高斯公式及應用；常微分方程的基本概念，常微分方程的初等解法.
2．課程難點：
各章的難點依次為：確界的定義及應用；數列極限的“ε —N”定義及柯西準則；函數
極限的“ε —δ ”定義與“ε —X”定義，柯西準則和海涅定理的運用；一致連續性的概念；
求復合函數導數；構造輔助函數，利用微分中值定理解決問題，函數的凸性；實數完備性基
本定理的證明和應用；積分計算技巧；函數可積性條件的討論；定積分的幾何應用和物理應
用；反常積分斂散性判別；一般級數斂散性的判別法；一致收斂概念、判別及應用；冪級數
收斂區間端點處斂散性判別；傅里葉級數收斂性的判別和收斂定理的證明；平面點集的概念，
二重極限與累次極限的關系；全微分、偏導數之間的關系，高階復合函數的偏導數；隱函數
定理；含參量廣義積分的一致收斂性判別與性質；兩類曲線積分的關系；重積分的變換，化
重積分為累次積分；兩類曲面積分的關系，高斯公式、斯托克斯公式及應用.
二.課程教學內容與學時
課堂教學 1．實數集與函數
1.1 掌握實數的基本性質，熟練運用絕對值的有關性質和常用的不等式；
1.2 理解鄰域、確界概念，掌握確界原理；
1.3 理解函數、復合函數、反函數和初等函數的定義，熟悉函數的各種表示方法，掌握
初等函數的性質和圖象；
1.4 理解函數的有界性、單調性、奇偶性、周期性.
2．數列極限
2.1 準確理解數列極限的? - N 定義，會用定義證明極限；
2.2 理解并能證明收斂數列的性質；掌握求數列極限的常用方法；
2.3 理解數列發散、單調、有界和無窮小數列等有關概念，理解數列收斂的條件，收斂
性的判別法；掌握用單調有界原理證明數列收斂，理解用 Cauchy 準則判斷數列的斂散性.
3．函數極限
3.1 準確理解函數極限的? - ?定義，會用定義證明極限；
3.2 掌握函數極限的基本性質和求極限的常用方法；
3.3 理解數列收斂的條件，掌握海涅定理和柯西準則的實質和證明思路，并用其判定函
數極限的存在性；
3.4 掌握兩個重要極限的結論、證明及應用；
3.5 理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數的極限.
4．函數的連續性
4.1 理解函數在一點連續的定義及等價敘述；理解在一點間斷的概念；掌握函數連續性
和連續函數的概念；
4.2 熟悉連續函數的有界性、保號性和運算性質并靈活應用；掌握閉區間連續函數的主
要性質，理解其幾何意義并應用；理解閉區間一致連續的概念；
4.3 依據初等函數的連續性求函數極限.
5．導數和微分
5.1 理解函數在一點導數存在的定義及物理、幾何意義，計算函數的導數；明確導數與
單側導數、可導與連續的關系；熟練導數的物理、幾何應用；
5.2 熟練掌握導數的四則運算法則，復合函數的求導法則，計算反函數的導數；
5.3 熟練應用含參變量的求導法則進行導數運算；
5.4 了解高階導數定義，理解和運用一階微分的形式不變性，熟悉高階導數的計算；
5.5 理解函數在一點的微分的定義、幾何解釋，求初等函數的微分；明確函數在一點可
導與一點可微之間的一致性，并應用微分進行近似計算.
6．微分中值定理及其應用
6.1 掌握三個微分中值定理的內容、證明方法、應用，理解其分析意義與幾何意義，了
解三者之間的包含關系；
6.2 熟練掌握 L’Hospital 法則求某些不定式的極限；理解函數在一區間上單調以及嚴格
單調的意義和條件；熟練掌握運用導數判斷函數單調性與單調區間的方法；能利用函數的單
調性證明某些不等式；
6.3 理解 Taylor 定理，掌握 Taylor 公式，熟記一些常用初等函數的 Taylor 展開公式；熟
悉兩種不同余項的 Taylor 公式及其之間的差異及應用；
6.4 了解函數極值的概念，取得極值必要條件及充分條件；掌握求函數極值的一般方法
和步驟；靈活運用第一、第二充分條件判定函數的極值與最值；
6.5 理解函數凸性、曲線的拐點的概念，掌握討論函數的凹凸性的方法，能應用函數的
凸性證明某些有關的命題；
6.6 利用函數的單調性、極值、凹凸性、拐點等性質大致描繪函數圖象.
7．實數的完備性
7.1 掌握實數六個基本定理，理解其意義和重要性；了解定理間的等價性；
7.2 應用基本定理證明閉區間上連續函數的基本性質和一些有關命題；
7.3 了解上極限、下極限的概念以及與極限的關系.
8．不定積分
8.1 理解不定積分的概念，掌握原函數與不定積分的概念及其之間的區別；掌握不定積
分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式；
8.2 熟練地應用換元積分公式和分部積分公式；
8.3 掌握化有理函數為分項分式的方法；求四種有理最簡真分式的不定積分，學會求某
些有理函數的不定積分的技巧；求某些簡單無理函數和三角函數有理式不定積分的方法.
9．定積分
9.1 理解并掌握定積分的思想：分割、近似求和、取極限，進而會利用定義解決問題；
9.2 理解微積分基本定理的意義，熟練地應用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分
9.3 理解可積的必要條件以及上和、下和的性質，掌握可積的充要條件及可積函數類，
證明可積性問題；
9.4 理解并熟練地應用定積分的性質；
9.5 掌握換元積分法和分部積分法，并能解決計算問題.
10．定積分的應用
10.1 理解微元法的思想，將實際問題化成定積分；計算平面區域的面積；
10.2 應用本章給出的公式，用截面面積計算體積；
10.3 計算平面曲線的弧長；
10.4 計算旋轉曲面的面積；
10.5 計算變力作功等物理問題.
11．常微分方程解法簡介
了解常微分方程與解的概念，熟練掌握方程類型的判別，熟練掌握五種基本初等積分法
——變量分離方程解法，常數變易法，全微分方程解法，參數法，降階法，二階線性常系數
微分方程解法.
12．多元函數的極限與連續
12.1 理解平面點集的有關概念，掌握 R
2
上的完備性定理，理解多元函數的概念；
12.2 掌握二元函數極限的定義，深刻理解累次極限與重極限的關系；
12.3 理解二元函數連續性的概念，掌握閉區域上連續函數的性質.
13．多元函數微分學
13.1 理解二元函數可微和偏導數的定義，深刻理解可微與偏導數存在的關系，可微性
條件、幾何意義；
13.2 熟練復合函數的求導法則，理解多元函數一階微分形式不變性；
13.3 理解掌握三元函數的方向導數與梯度的概念和計算；
13.4 理解并掌握二元函數微分中值定理和 Taylor 公式，解決多元函數極值問題.
14．隱函數定理及其應用
14.1 了解隱函數存在性條件，掌握隱函數定理，熟練隱函數求導；
14.2 了解隱函數組、反函數組的概念，理解隱函數組、反函數組定理的內容
14.3 熟悉隱函數組定理的幾何應用；
14.4 掌握求條件極值的拉格朗日乘數法.
15．曲線積分
15.1 理解第一型曲線積分的定義，熟悉第一型曲線積分的計算；
15.2 理解第二型曲線積分的定義，熟悉第二型曲線積分的計算；
16．重積分
16.1 理解二重積分的定義及存在性，熟悉二重積分的性質；
16.2 掌握直角坐標系下二重積分的計算
16.3 掌握格林公式計算曲線積分，理解曲線積分與路線的無關性；
16.4 熟悉二重積分的變量變換公式，掌握用極坐標計算二重積分；
16.5 理解三重積分的概念，掌握三重積分的計算
16.6 熟練重積分在幾何與力學方面的應用.
17．曲面積分
17.1 理解第一型曲面積分的概念，熟練第一型曲面積分的計算；
17.2 理解第二型曲面積分的概念，熟練第二型曲面積分的計算；
17.3 利用高斯公式和斯托克斯公式求曲面積分.
17.4 場論初步
18．反常積分
18.1 理解反常積分的概念，反常積分的含義與性質；
18.2 理解反常積分斂散性的含義，掌握反常積分斂散性的判別方法；
18.3 掌握無窮積分和瑕積分的性質與斂散性的判別方法.
19．數項級數
19.1 理解級數與數列的關系，級數斂散性的概念；掌握級數收斂的 Cauchy 準則，收斂
級數的性質；
19.2 掌握正項級數收斂的各種判別原則和方法；
19.3 掌握交錯級數收斂性判別法，了解級數的絕對收斂的概念和性質；掌握一般項級
數收斂的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.
20．函數列與函數項級數
20.1 理解函數列收斂和一致收斂的定義、幾何意義，函數列或函數項級數與極限函數
的關系；掌握判別一致收斂的 Cauchy 準則、M –判別法、Abel 判別法、Dirichlet 判別法；
20.2 掌握一致收斂函數列與函數項級數的性質.
21．冪級數
21.1 理解冪級數的收斂半徑、收斂域的概念，并會計算收斂半徑，分析收斂域；掌握
冪級數的一致收斂性判別方法和冪級數的性質；
21.2 理解函數和 Taylor 展式間的關系，掌握函數的冪級數展開.
22．傅里葉級數
22.1 了解三角級數的有關概念，掌握三角函數系的特性；理解2?為周期的函數的Fourier
級數的定義、收斂定理；
22.2 理解奇、偶函數的 Fourier 級數，掌握將一個函數展開成 Fourier 級數；
22.3 掌握 Fourier 級數收斂性定理證明.
23．含參量積分
23.1 理解含參量積分的概念，掌握含參量積分的連續性、可微性與可積性定理及應用；
23.2 理解含參量反常積分的概念，一致收斂的定義，掌握一致收斂的判別方法，含參
量反常積分的性質；
23.3 了解?函數和?函數的性質及二者關系.
一、教材與參考書
教材
1. 華東師范大學數學系編，《數學分析》（上、下），高等教育出版社，2010 年，第四版.
參考書
1. 斐禮文編，《數學分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2008 年，第二版.
2. 林源渠，方企勤編，《數學分析解題指南》，北京大學出版社，2003 年，第一版.
3．吳良森毛羽輝韓士安吳畏編，《數學分析學習指導》高等教育出版社，2004 年第一版.
4. 謝惠民，惲自求編，《數學分析習題課講義》，高等教育出版社，2003 年，第一版.
5. B.A.卓里奇，《數學分析（第四版）》，高等教育出版社，2006 年.
6. 蓋爾鮑姆，奧姆斯特德，《分析中的反例》，上海科學技術出版社，1980 年.

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