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《數理統計》考博大綱 科目代碼：2098
基本內容與要求：
一、 概率、隨機變量及其函數的分布
1、 概率空間，條件概率與獨立性
2、 隨機變量與分布
3、 密度函數和獨立性
4、 條件期望，特征函數
5、 隨機變量的函數分布
6、 多元正態分布
重點：熟悉隨機變量密度函數，分布函數的求解；獨立性的判別方法；能
夠熟練運用條件期望的相關性質；熟悉多元正態分布的性質
二、各種收斂方式與極限分布
1、 依概率收斂
2、 幾乎必然收斂
3、 r 階中心矩收斂
4、 依分布收斂
5、 各種收斂方式之間的關系
重點： 熟悉掌握常用概率不等式，如 Markov 不等式，契比雪夫不等式
等；掌握常見的以概率收斂的證明方法，掌握 Borel–Cantelli 引
理；能夠熟練推導各種收斂性的關系；
三、數據壓縮技術
1、 點估計量的優劣判斷
2、 充分統計量
3、 完備統計量
4、 概率密度函數中的指數型分布族
重點： 掌握無偏估計； 最小方差無偏估計概念和性質； 掌握充分統計量
的相關性質；理解完備統計量的性質和作用；
1、 極大似然估計
2、 極大似然估計量
3、 Fisher 信息量和 Cramér-Rao 不等式
4、 極大似然估計量的漸進性質
5、 EM 準則
重點： 熟練掌握極大似然估計的求解；掌握極大似然的收斂性質； 掌握
Fisher 信息量的定義；掌握 C-R 不等式； 了解 EM 算法
四、 貝葉斯估計
1、 預備知識
2、 bayes 估計
3、 馬爾科夫鏈-蒙特卡羅法
重點： 掌握 Bayes 估計；了解馬爾科夫鏈-蒙特卡羅算法
五、 最大勢檢驗與一致最大勢檢驗
1、 基本概念
2、 Neyman-Pearson 引理
3、 一致最大勢檢驗
4、 一致最大勢無偏檢驗
5、 多參數指數族的假設檢驗
重點： 理解最優勢檢驗相關概念； 掌握 N-P 引理；了解一致最優勢無偏
檢驗的概念
六、 參數模型中的檢驗
1、 廣義似然比檢驗
2、 基于似然函數的漸進檢驗
3、 漸進卡方檢驗
重點：掌握似然比檢驗的定義和漸近分布；
七、 非參數模型檢驗
1、 符號，秩和符號秩檢驗
2、 兩個分布函數相等性檢驗
重點： 掌握符號，秩和符合檢驗的思想和定義； 掌握 Kolmogrov 檢驗；
八、 線性回歸與最小二乘
1、 古典假定與最小二乘估計
2、 普通最小二乘估計量的有限樣本性質
3、 擬合優度與模型選擇
4、 假設檢驗
重點：掌握最小二乘方法的假設，和有限樣本下的性質；掌握模型選擇的基本
方法；
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