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《數理方程》考博大綱 科目代碼：2003
基本內容與要求：
《數理方程》是理工科方向應用數學理論解決工程問題的基礎，也是數學理論應用
的數學模型。要求考生比較系統地理解數學物理方程的基本概念和基本理論，掌握基本
方法。
考試的主要內容為偏微分方程基本概念、三類典型方程的導出、偏微分方程的定解
問題及其適定性研究、解的疊加原理等。同時要求考生了解偏微分方程研究的現代基本
理論（廣義函數理論、Sobolev 空間理論等），理解和掌握其在橢圓、雙曲、拋物型方
程研究中的應用，包括應用這些理論研究定解問題的古典解、弱解的適定性以及正則性
的方法。
主要內容
（一）、 偏微分方程的一般理論
1. 理解和掌握偏微分方程的基本概念、特征與分類；
2. 掌握 Fourier 變換及廣義函數的概念和基本性質；
3. 理解和掌握偏微分方程古典解，廣義解以及定解問題的適定性等概念；
4. 理解和掌握三類典型線性偏微分方程（波動方程、熱傳導方程、位勢方程）的導
出。
（二）、波動方程
1. 理解和掌握一維波動方程的特征線法及初值問題解的 D’Alembert 公式，了解其
物理意義;
2. 理解和掌握三維波動方程的球平均法及初值問題解的 Kirchhoff 公式，了解其物
理意義;
3. 理解和掌握二維波動方程的初值問題和降維法及初值問題解的 Poisson 公式;
4. 掌握解的線性疊加原理及 Fourier 變換方法求解波方程初值問題；
5. 掌握波動方程初邊值問題的分離變量法；
6. 理解和掌握依賴區域、決定區域、影響區域、特征維以及波的惠更斯（Huyge）
原理等概念。
（三）、熱傳導方程
1. 理解和掌握 Fourier 變換求解熱傳導方程及初值問題解的 Poisson 公式，理解熱
傳導方程基本解的概念；
2. 掌握一維熱傳導方程初邊值問題的分離變量法；
3. 理解和掌握一維熱傳導方程的極值原理，能夠應用極值原理來證明定解問題解的
唯一性和穩定性
4. 理解和掌握熱傳導方程的最大模估計和能量模估計（能量方法），以及用能量方
法討論初邊值問題解的唯一性和穩定性。
（四）、位勢方程
1. 掌握 Poisson 方程邊值問題的分類;
2. 掌握調和函數的基本性質，如中值公式、極值原理等；
3. 理解和掌握位勢方程的極值原理，能夠應用極值原理來證明定解問題解的唯一性
和穩定性；
4. 理解和掌握位勢方程的最大模估計和能量模估計（能量方法），以及用能量方法
討論初邊值問題解的唯一性和穩定性。
5. 理解 Sobolev 空間的基本概念和性質，掌握變分問題的解的存在唯一性。
（五）、二階偏微分方程的分類和總結
1. 理解和掌握二階偏微分方程的分類（橢圓、拋物、雙曲）及其基本性質；
2. 理解和掌握基于泛函分析、Sobolev 空間理論的能量方法，以及極值原理，在三
類方程中弱解的存在性、唯一性、正則性的應用。
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