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科目代碼：F1001 科目名稱：實變函數
一、考試要求
主要考察考生是否掌握了實變函數的基本概念、基本理論和基本
方法，包括集合的勢與對等、Borel集類、Lebesgue測度、可測函數、
可測函數的收斂、Lebesgue積分等的基本概念；集合序列的上下限集、
可測集經交并差運算、Lebesgue積分等的計算方法，Cantor 集的構
造、可測函數“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”
之間的關系，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函
數積分的性質。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關系，
Lebesgue積分的極限定理等；以及是否具備運用基本理論和基本方法，
分析解決問題的能力。
二、考試內容
1、集合的基本運算；集合序列的上、下限集。集合的勢的定義，
勢的性質，勢的比較。常見集合的勢及其基本性質；
2、n維空間中集合的內點、邊界點、聚點、開集、閉集等概念，
明確開集的構造.理解完備集的概念,特別要掌握Cantor 集；
3、外測度概念，外測度與體積的關系，可測集的定義及其性質，
包括可測集經交、并、差運算后的可測性，可數個可測集的交集或并
集的可測性、可數可加性以及可測集序列的極限之可測性。Borel集
類；Lebesgue可測集的結構；
4、可測函數的概念,可測函數的特征性質,簡單函數的有關性質。
掌握“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”的概念和
它們之間的關系；
5、一般可測函數積分的定義，Lebesgue積分與廣義Riemann積分
的異同，一般可測函數積分的性質。Riemann 可積性與Lebesgue可積
性之間的關系。Lebesgue積分的極限定理，包括Levi定理、Fatou引
理、 Lebesue控制收斂定理及其應用，Riemann可積的充要條件。掌
握L 積分的概念,理解L 積分和R 積分的關系.掌握L 積分的性質,對
有關L 積分的三個極限定理及其應用。
三、題型
試卷滿分為 100 分，其中：判斷題占 30%，計算分析題占 20%，證明
題占 50%。
四、參考教材
1．《實變函數與泛函分析基礎》(第三版)．程其襄等．高等教育
出版社，2010。
2．《實變函數與泛函分析概要》（第三版）．鄭維行、王聲望主編．高
等教育出版社，2005。
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