|
友情提示：本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學考試歷年考研真題、考博真題、答案，部分學校更新至2012年，2013年；均提供收費下載。 下載流程： 考研真題 點擊“考研試卷””下載; 考博真題 點擊“考博試卷庫” 下載
第1頁，共13頁
全國碩士研究生入學統一考試數學專業《數學分析》考試大綱
I 考查目標
全國碩士研究生入學統一考試數學專業 《數學分析》考試是為我校招收數學碩士生設置的具
有選拔性質的考試科目。其目的是科學、公平、有效地測試考生是否具備攻讀數學專業碩士所必
須的基本素質、一般能力和培養潛能，以利于選拔具有發展潛力的優秀人才入學，為數學學科及
社會的發展培養具有良好職業道德、法制觀念和國際視野、具有較強分析與解決問題能力的高層
次、應用型、復合型的數學專業人才?？荚囈笫菧y試考生掌握分析、表達與解決問題的一些基
本能力和技能。
具體來說就是：要求考生理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和
方法具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的
能力。
II 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。不得使用帶有公式和文本存儲功能的計算器。
三、試卷內容與題型結構
一元函數微積分 約占 60%，多元函數微積分 約占 25%，無窮級數 約占 20
有以下三種題型： 填空題或選擇題（20%）、計算題（30%）、綜合題（50%）
III 考查內容
1、極限和函數的連續性
第2頁，共13頁
（1）熟練掌握數列極限與函數極限的概念；理解無窮小量、無窮大量的概念及
基本性質。
（2）掌握極限的性質及四則運算法則，能夠熟練運用迫斂性定理和兩個重要極限。
（3）熟練掌握：區間套定理，確界存在定理，單調有界原理，聚點定理，有限覆
蓋定理，Cauchy收斂準則；并理解其相互關系。
（4）熟練掌握函數連續性的概念及相關的不連續點類型。能夠熟練地運用函數連
續的四則運算與復合運算性質。
（5）熟練掌握閉區間上連續函數的基本性質：有界性定理、最值定理、介值定理，
一致連續性。
（6）熟練掌握實數基本理論和性質，會用實數理論及性質表達和證明相關命題。
2、一元函數微分學
（1）理解導數和微分的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義，理解函數可導
性與連續性之間的關系。
（2）熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則、復合函數
求導法則，會求分段函數的導數。
（3）熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及
Taylor展式。
（4）能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凹凸性。
（5）掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
第3頁，共13頁
3、一元函數積分學
（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，
初等函數的積分。
（2）掌握定積分的概念與性質及可積條件與可積函數類。
（3）熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值
定理。
（4）能用定積分計算：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積與側面
積，平行截面面積已知的立體體積及在物理上的應用。
（5）理解反常積分的概念。熟練掌握判斷反常積分收斂的比較判別法，Abel判別
法和 Dirichlet判別法。
4、無窮級數
（1）理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。
（2）熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，比式判別法和根式判別法，
積分判別法。
（3）熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系。熟練掌握交
錯級數的判別法。掌握絕對收斂級數的性質。
（4）熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Cauchy收斂準
則， Weierstrass判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法。
（5）掌握冪級數及其收斂半徑、收斂區間的概念。
第4頁，共13頁
（6）熟練掌握冪級數的性質。能夠將函數展開為冪級數。理解余項公式。
（7）掌握傅里葉級數的概念與性質，掌握傅里葉級數展開的方法。
5、多元函數微分學與積分學
（1）理解多元函數極限與連續性，偏導數和全微分的概念，會求多元函數的偏導
數與全微分，方向導數和梯度。
（2）掌握隱函數存在定理，隱函數和隱函數的求導方法。
（3）會求多元函數的極值和條件極值，了解偏導數的幾何應用。
（4）熟練掌握重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算。
（5）熟練掌握Gauss公式、Green公式及 Stoks公式。
6、含參變量積分
（1）掌握含參變量正常積分、含參變量反常積分和歐拉積分的概念與性質及一致
收斂的判別法。
（2）熟練掌握變上限積分及其性質。
IV. 題型示例及參考答案
第5頁，共13頁
1 填空題（30 分）：
（1）極限 ?
?
? x
xx
x
3
0 sin
tansin
lim
2
1
? ；極限 ? ???
??
?nn
n
22
sinlim 1 。
（2）函數 ? ?
1?
? x
e
x
xf 的間斷點是 0?x ，該間斷點的類型是第二類間斷點。
（3）已知函數 ? ?xf 可導，且
? ?
x
xf
y
2
? ，則 ??y ? ? ? ?
2
2
2
2
x
xf
xf ?? ；若取 ? ? x
xexf ? 。
則 ? ?
? ? ?0
21
y 21 。
（4）改變積分 ? ???
x
x
dyyxfdx 2
,
1
0
的積分次序為 ? ???
y
y
dxyxfdy ,
1
0
。其極坐標形式為
? ??? ?
??
??
2
sin
cos
0
4
0
, rdrrfd 。
（5）級數 ?
?
?1n
n
nx 的和函數是
? ?2
1 x
x
?
，及收斂區間為? ?1,1? 。
2 敘述 axn
n
?
??
lim 的 N?? 描述，證明數列 ? ?
? ?n
n
1?
發散。（6 分）
【解】 axn
n
?
??
lim 的 N?? 描述： 00
??? ，使得對 N? ， Nnk
?? ，成立 0
??? axn
。數列 ? ?
? ?n
n
1?
發散：對任意實數 a ，取 10
?? ，則可以取 12 ??? akn ，則有 112
????? aaax k
，故
數列 ? ?
? ?n
n
1?
發散。
3 證明數列
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
x
1
1 收斂，若及其極限為 e ，進一步證明 e
x
x
x
??
?
?
?
?
?
?
??
1
1lim 。（8 分）
【證明】利用二項展開式，將 n
x 表示為
? ?? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
n
k
n
k
n
k
k
i
kk
k
nn
n
i
knknk
n
n
Cx
0 0 0 0
1
!
11
!!
!1
，
比較 1?n
x 與 n
x 相應各項，注意到
nn
1
1
1
1
1 ??
?
? ，得到 nn
xx ??1 ，即數列? ?n
x 是單調遞增數列，又 ?
?
?
n
k
n
k
x
0 !
1
，當 1?k 時，。
第6頁，共13頁
恒有 1
2!
?
?
k
k ，則有 ?
?
?
???
n
k
kn
x
1
1
3
2
1
1 ，即數列有界，根據數列收斂準則，數列
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
x
1
1
收斂。若記 e
n
n
n
??
?
?
?
?
?
?
??
1
1lim ，對任意 ??x ，總是存在 ??n ，使得 1??? nxn 則有
1
1
1
1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
nxn
nxn
，利用夾逼定理，我們得證 e
x
x
x
??
?
?
?
?
?
?
??
1
1lim 證畢。
4 設函數 ? ?xf 定義在 ? ???,a 上， ? ?xf 在每一個有限區間? ?ba, 內有界并滿足
? ? ? ?? ? Axfxf
x
???
??
1lim 。試證明：
? ?
A
x
xf
x
?
??
lim .（10 分）
【證明】由題設條件知，對 0??? ， aX ?? 0
（ 00
?X ），當 0
Xx ? 時，成立
? ? ? ?
3
1
?
???? Axfxf （1）
任取 0
Xx ? ，記 ? ?0
xxnx
?? ， x
nxxL ??? 0
，則顯然 10 ?? L ，于是 x
nLxx ??? 0
，
Lxnx x
??? 0
，由（1）式，有
? ? ? ?
? ? ? ?? ??
?
?????????
?? xn
k
x
xx
AnkLxfkLxf
n
A
n
Lxfxf
1
00
0
1
1
? ? ? ?
33
1
1
1
1
00
??
?????????? ?
?
x
x
n
kx
n
n
AkLxfkLxf
n
x
（2）
根據 ? ?xf 在 ? ?1, 0
?xa 上的有界性，有
? ?
0lim 0
?
?
?? x
Lxf
x
，及 0lim 0
?
?
??
A
x
Lx
x
，于是
aX ?? 1
，當 1
Xx ? 時，成立
? ?
3
0
?
?
?
x
Lxf
，
3
0
?
?
?
x
Lx
（3）
又
? ? ? ? ? ? ? ?
A
x
Lx
x
Lxf
A
n
Lxfxf
x
n
A
x
xf
x
x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?? 000
? ? ? ? ? ?
A
x
Lx
x
Lxf
A
n
Lxfxf
x
n
x
x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
? 000
（4）
現在取 ? ?10
,max XxX ? ，則當 Xx ? 時，）2）（3）同時成立，由（4）我們得到
? ?
A
x
xf
x
?
??
lim 。
5.設函數 ? ?xf 在區間 I 只有可去間斷點，令 ? ? ? ?yfxg
xy ?
? lim ，證明 ? ?xg 為連續函數。（6 分）
第7頁，共13頁
【證明】記 ? ?xf 的間斷點全體為 E ，記 EID ?? ，由題設， ? ?xg 在 D 上處處有定義。
Dx ?? 0
。由 ? ? ? ?yfxg
xy 0
lim0
?
? ，對任意 0?? ，存在 00
?? ，當 00
0 ???? xy 。且 Dy ? 時，
總有 ? ? ? ? ? ? ?? ???? 00
xgyfxg （1）
對任意 ? ? DxUx ?? 00
0
,? ，考慮到開鄰域的開集性質，存在 ? ? ? ?00
0
1
,, ?? xUxU ? ，則對任意
? ?1
,?xUy ? 且 Dy ? ，（1）成立，令 xy ? ，取極限得到
? ? ? ? ? ? ?? ????
?
00
lim xgyfxg
xy
，也即 ? ? ? ? ? ? ?? ???? 00
xgxgxg
即對任意 ? ?00
0
.?xUx ? ，成立 ? ? ? ? ??? 0
xxxg ，則 ? ? ? ?0
0
lim xgxg
xx
?
?
，證明 ? ?xg 在 0
x 處連續，
由于 0
x 的任意性，證明 ? ?xg 為連續函數。
6..已知 ? ?xf 在區間 ? ?ba, 內具有單調的導數，證明 ? ?xf 的導函數在區間? ?ba, 內連續。（6 分）
【證明】不妨設 ? ?xf ? 在 ? ?ba, 內單調遞增，對任意 ? ?bax ,0
? ，在在 0
x 的左半鄰域 ? ?0
xU ?
中，
? ?xf ? 單調遞增且以 ? ?0
xf ? 為其上界，在 0
x 的右半鄰域 ? ???
xU 中， ? ?xf ? 單調遞增且以 ? ?0
xf ? 為
下屆，則由單調有界定理，極限 ? ?xf
xx
?
?? 00
lim 和 ? ?xf
xx
?
?? 00
lim 存在，由單側導數的定義。知道
? ? ? ?0_
00
lim xfxf
xx
???
??
， ? ? )(lim 0
00
xfxf
xx
?
??
??? ，因為 ? ?0
xf ? 存在，其左右極限相等，故而得到
? ? ? ?0
0
lim xfxf
xx
???
?
。則 ? ?xf ? 在 0
x 連續，由 0
x 的任意性，得證 ? ?xf ? 在區間? ?ba, 內連續。
7..設函數 ? ?xf 在區間? ?ba, 上二階可導且 ? ? ? ? 0???? bfaf ，試證明：存在點 ? ?ba,?? ，使
得 ? ?
? ?
? ? ? ?afbf
ab
f ?
?
??? 2
4
? 。（8 分）
【證明】取
2
ba
x
?
? ，由題設，得到下列 Taylor 展式：
? ? ? ?
? ?
2
1
222
?
?
?
?
?
? ???
?
?
????
?
?
?
?
? ? abfab
afaf
a
ba
f
?
，
2
1
ba
a
?
?? ? ， （1）
? ? ? ?
? ?
2
2
222
?
?
?
?
?
? ???
?
?
????
?
?
?
?
? ? bafba
bfbf
a
ba
f
?
， b
ba
??
?
2
2
? ， （2）
由（1）和（2），并注意到題設條件得到
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? 0
8
212
??
?????
?? ab
ff
afbf
??
，
記 ? ? ? ? ? ?? ?21
,max ??? fff ??????? ，則
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?? ?21
2
21
2
88
???? ff
ab
ff
ab
afbf ?????
?
??????
?
??
? ?
2
4
1
abf ???? ? 。
第8頁，共13頁
8..證明;閉區間? ?ba, 的全體聚點的集合是? ?ba, 本身（8 分）
【證明】（1）設 ? ?bax ,? ，若 bax ,? ，則對 x 的任意鄰域 ? ??,xU ，取 ? ??? ,,min axxb ??? ，
則 ? ? ? ??? ,, xUxU ? ， ? ? ? ?baxU ,, ?? ，即 ? ??,xU 中含有? ?ba, 的無數個點，即 x 為? ?ba, 的聚
點。
若 ax ? ，取 ? ??? ,min ab ?? ，則 ? ? ? ??? ,, xUaU ??
， ? ? ? ?baaU ,, ??
? ，在 ? ??.aU ?
內含有
? ?ba, 的無窮多個點，則 a 為? ?ba, 的據點。
同理可證 bx ? 也是? ?ba, 的聚點。
（2）設 x 為? ?ba, 的聚點，且 ? ?bax ,? ，則 ax ? 或 bx ? ，不妨設為 ax ? ，則取 xa ??0
? ，
則 00
?? 且 ? ? ? ? ?? ?baxU ,, 0
? ，則在 ? ?0
,?xU 中不含? ?ba, 的點，與聚點相矛盾，故 ? ?bax ,?
綜合（1）和（2）證得? ? ? ?baba ,, ?
?
。
9..設 ? ?xf 和 ? ?xg 均為定義在 ? ?ba, 上的有界函數，若已知僅在 ? ?ba, 上有限個點處成立
? ? ? ?xgxf ? ，則當 ? ?xf 在? ?ba, 上可積時， ? ?xg 在? ?ba, 上也可積，且 ? ? ? ??? ?
b
a
b
a
dxxgdxxf 。
（8 分）
【證明】設 ? ?xf 和 ? ?xg 僅在 k 個點 k
aaa ?,, 21
上取值不同，記 ? ? ? ?ii
ki
agafM ??
??1
max ，
? ???
b
a
dxxfI 。對 0??? ，存在 01
?? ，使當 1
??T 時，有 ? ?
2
?
? ????
T
ii
Ixf ，令
?
?
?
?
?
?
?
aM4
,min 1
?
?? ，則當 ??T 時，有
? ? ? ? ? ?? ?? ??????
T T
iiiiii
T
xfxgIxg ??? ? ?? ???
T
ii
Ixf ?
? ?? ?? ????
T
iii
xgf
2
?
?? ? ? ? ?
2
?
?? ??? ? ii
T
gfT （1）
當 ii
a?? 時， ? ? ? ? 0?? ii
gf ?? ，則 ? ? ? ?? ?
T
ii
gf ?? 中至多有 k 項不為 0，故從（1）式得到
? ? ?
???
? ???????? 242
TkMIxg
T
ii ， 由 此 證 得 ? ?xg 在 ? ?ba, 上 可 積 且
? ? ? ??? ?
b
a
b
a
dxxgdxxf 。
第9頁，共13頁
101.設 ? ?xf 在? ???,0 上連續，且 ? ? Axf
x
?
???
lim ，證明： ? ? Adttf
x
x
x
????? 0
1
lim 。（8 分）
【證明】對任意 0?? ，由 ? ? Axf
x
?
???
lim ，存在 0?X ，當 Xx ? ，有 ? ?
2
?
?? Axf ，且在 Xx ? ，
? ? ? ? ? ?? ????? ?????
TTTT
dxAxf
T
Adxdxxf
T
Adxxf
T 0000
111
f
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
????
??????
?
???
T
X
dxAxf
T
dxAxf
T
dxAxf
T
dxAxf
T
X
T
X
XT
1
2
1
111
0
00
?
注意到 ? ?xf 的連續性，得知 ? ? Axf ? 在閉區間? ?X,0 上連續有界，故令
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?? ? XdxAxfX
X
2,
2
max
0
1
?
則得到 ? ? ?
??
????? 22
1
0
Adxxf
T
T
，即 ? ? Adttf
x
x
x
????? 0
1
lim 。
11.已知曲線 ? ??cos1 ?? ar ，其中 0?a ，試求：（1）該曲線的弧長；（2）曲線所圍圖形的面
積；（3）曲線繞極軸旋轉所成立體的曲面面積（12 分）。
【解】（1）由題設可知曲線關于極軸對稱，故 ?? ?????
??
???
00
22
cos2222 dadryL ，
所以 aadaL 8
2
sin8
2
cos4 0
0
??? ?
?
? ?
?
?
；
（2）曲線所圍圖形面積為 ? ? 2
0
22
0
2
2
3
coscos21
2
1
2 adadrA ?????
??
????? ?? 。
（3）曲面面積 ? ? 2
0
2
0 5
32
2
cossincos142 adaaydsS ??
?
????
??
???? ?? 。
12.已知級數 ? n
a 收斂，且級數 ? ?? ?? nn
bb 1 絕對收斂，證明級數? nn
ba 收斂。（8分）
第10頁，共13頁
【證明】因為級數 ? n
a 收斂，根據 Cauchy 收斂準則，對 0??? ，存在 01
?N ，使得當 1
Nn ? ，
對任意自然數 p ，都有 ???
?
?
pn
nk
k
a （1）
由于 ? ?? ?? nn
bb 1
絕對收斂，對上述 0?? ，存在 02
?N ，使得當 2
Nn ? ，對任意自然數 p ，
成立 ????
?
?
?
Mbb
pn
nk
kk 1
（2）
由根據收斂的定義。級數 ? ?? ?? nn
bb 1
的部分和有界，即 ? ??
?
??
???
n
k
nnn
bbbb
1
111
有界，也即
Mbn
? 。利用 Abel 變換得到，當 ? ?21
,max NNNn ?? 時，對任意自然數 p 。有
? ? ? ? ? ?? ? ??
?
?
??
?
?
?
???????
?
?
????????
1 1
1211
n
nk
pn
nk
pn
nk
kpnkpnpnknnnnn
pn
nk
kk
ababbabbabbba ?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
???
????????
pn
nk
kpn
pn
nk
kpnpn
pn
nk
knnnnn
ababbabbabb 1211
?
? ????? MMbb
pn
nk
kk
????? ?
??
?
?
1
1
。
根據 Cauchy 收斂準則，級數? nn
ba 收斂。
13.設函數 ? ?xf 在區間 ?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上連續，證明：（1） ? ?? ?xfx
n
在 ?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上收斂；（2） ? ?? ?xfx
n
在
?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上一致收斂的充要條件是什么？證明之。（8 分）
【證明】（1）直接計算得到 ? ?
? ???
?
?
?
?
??
?
??
1,1
1
2
1
,0
lim
xf
x
xfx
n
n
，由此證明數列 ? ?? ?xfx
n
在 ?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上收
斂；（2）上述數列在 ?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上一致收斂的充要條件是 ? ? 01 ?f 。
第11頁，共13頁
必要性“由 ? ?xf 的連續性，故其在
?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上有界，又函數數列 ? ?? ?xfx
n
一致收斂且在該區間上
連續，則其極限函數 ? ?xg 在該區間上也連續，故 ? ? ? ? ? ? 0lim11
1
???
?
xggf
x
。
充分性“設 ? ? Mxf ? ，因為 ? ? 01 ?f ，導數數列 ? ?? ?xfx
n
的極限函數 ? ? 0?xg ，考慮到 ? ?xf
在 1?x 處連續，所以對 0??? ，存在 0?? （不妨設
2
1
?? ），當 `11 ??? x? 時，
? ? ? ? ? ? ???? xffxf 1 ，由此我們得到：當 11 ??? x? 時， ? ? ? ? ???? xfxfx
n
0 ，當
???? 1
2
1
x 時， ? ? ? ? Mxfx
nn
???? 10 ，顯然 ? ? 01lim ??
??
M
n
n
? 。綜上所述， ? ?? ?xfx
n
在
上一致收斂。
14.已知 ? ?xf 為區間? ??? ,? 上可積函數，且其 Fuier 級數在? ??? ,? 上一致收斂于 ? ?xf ，證明成
立 Parseval 等式： ? ?? ? ? ?? ??
?
?
???
?
?? 1
22
2
02
2
1
n
nn
ba
a
dxxf 。（8 分）
【證明】由題設， ? ? ? ??
?
?
???
1
0
sincos
2 n
nn
nxbnxa
a
xf ，
所以 ? ?? ? ? ? ? ? dxnxbnxa
a
xfdxxf
n
nn? ?? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
? ?? 1
02
sincos
2
11
? ? ? ?? ?? ??
?
?
??
???
1
0
sincos
1
2 n
nn
dxnxbnxaxfdxxf
a ?
?
?
??
（這里用到了收斂的一致性質，即和運
算于積分運算可交換次序）
? ? ? ?? ???
?
?
??
?
?
???
11
2
0
sin
1
cos
1
2 n
n
n
n
nxdxxfbdxnxxfa
a ?
?
?
? ??
? ??
?
?
???
1
22
2
0
2 n
nn
ba
a
。
15..已知一元函數 ? ?x? 在區間? ?ba, 上連續，令
? ? ? ?xyxf ??, ， ? ? ? ? ? ??????? ,,, bayx ，試證明（1） ? ?yxf , 是否連續？(2) ? ?yxf , 是否一
致連續？（8分）
第12頁，共13頁
【證明】（1）由題設，對 ? ?bax ,0
?? ， ? ?x? 連續，即對 0??? ，存在 ? ? 0,01
??? x ，當
10
0 ???? xx ，恒有 ? ? ? ? ??? ?? 0
xx ，故對任意 ? ? ? ? ? ???????? ,,, 00
baDyx ，對任意
0?? ，取 1
?? ? ，則當 ? ? ? ? ??????
2
0
2
0
0 yyxx （此時 10
0 ???? xx 滿足），
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? 000
,, xxyxfyxf
得知 ? ?yxf , 在點 ? ?0
, yx 處連續，由 ? ?0
, yx 的任意性，得到 ? ?yxf , 在 D 上處處連續。
(2)因為 ? ?x? 在閉區間? ?ba, 上連續，故在閉區間? ?ba, 上一致連續，與（1）類似可以證明 ? ?yxf ,
是一致連續的。
16.設 yx
ff , 和 yx
f 在點 ? ?00
, yx 的某鄰域內存在，且 yx
f 在點? ?00
, yx 處連續，試證明： ? ?00
, yxf xy
存在且 ? ? ? ?000
,, yxfyxf yxoxy
? 。（8 分）
【證明】注意到 xy
f 的定義表達式，令
? ? ? ? ? ? ? ?? ?00000000
,,,),, yxfyyxfyxxfyyxxfyxF ??????????????
? ? ? ? ? ?yxfyxxfyg ,, 00
???? ，對固定的 x?
則 ? ? ? ? ? ?00
, ygyygyxF ?????? ，由題設知道 ? ?yg 在 0
y 鄰近可導，根據微分中值定理，得到
? ? ? ? ? ? ? ?? ? yxfxxfygyxF yy
???????????? 10101
,,, ??? ，其中 1
? 介于 0
x 和 xx ??0 之間。又由題
設知道， ? ?yxf y
, 在 ? ?00
, yx 鄰近關于變量 x 可導，所以
? ? ? ? ? ? xfxfxxf yxyy
????? 121010
,,, ???? ，其中 2
? 介于 0
x 和 xxo
?? 之間，也即 02
x??
（ 0??x 時）， 01
y?? （ 0??y 時），得到
? ? ? ? yxfyxF yx
????? 12
,, ?? ，所以
? ?
? ?
? ?12
0000
00
,limlim
,
limlim, ??yx
xyxy
xy
f
yx
yxF
yxf
????????
?
??
??
? ，考慮到 yx
f 在點? ?00
, yx 處連續，即證得
? ?00
, yxf xy 存在且 ? ? ? ?000
,, yxfyxf yxoxy
? .
必要性“由 ? ?xf 的連續性，故其在
?
?
?
?
?
?
1,
2
1
上有界，又函數數列 ? ?? ?xfx
n
一致收斂且在該區間上
連續，則其極限函數 ? ?xg 在該區間上也連續，故 ? ? ? ? ? ? 0lim11
1
???
?
xggf
x
。
充分性“設 ? ? Mxf ? ，因為 ? ? 01 ?f ，導數數列 ? ?? ?xfx
n
的極限函數 ? ? 0?xg ，考慮到 ? ?xf
在 1?x 處連續，所以對 0??? ，存在 0?? （不妨設
2
1
?? ），當 `11 ??? x? 時，
? ? ? ? ? ? ???? xffxf 1 ，由此我們得到：當 11 ??? x? 時， ? ? ? ? ???? xfxfx
n
0 ，當
???? 1
2
1
x 時， ? ? ? ? Mxfx
nn
???? 10 ，顯然 ? ? 01lim ??
??
M
n
n
? 。綜上所述， ? ?? ?xfx
n
在
上一致收斂。
14.已知 ? ?xf 為區間? ??? ,? 上可積函數，且其 Fuier 級數在? ??? ,? 上一致收斂于 ? ?xf ，證明成
立 Parseval 等式： ? ?? ? ? ?? ??
?
?
???
?
?? 1
22
2
02
2
1
n
nn
ba
a
dxxf 。（8 分）
【證明】由題設， ? ? ? ??
?
?
???
1
0
sincos
2 n
nn
nxbnxa
a
xf ，
所以 ? ?? ? ? ? ? ? dxnxbnxa
a
xfdxxf
n
nn? ?? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
? ?? 1
02
sincos
2
11
? ? ? ?? ?? ??
?
?
??
???
1
0
sincos
1
2 n
nn
dxnxbnxaxfdxxf
a ?
?
?
??
（這里用到了收斂的一致性質，即和運
算于積分運算可交換次序）
? ? ? ?? ???
?
?
??
?
?
???
11
2
0
sin
1
cos
1
2 n
n
n
n
nxdxxfbdxnxxfa
a ?
?
?
? ??
? ??
?
?
???
1
22
2
0
2 n
nn
ba
a
。
15..已知一元函數 ? ?x? 在區間? ?ba, 上連續，令
? ? ? ?xyxf ??, ， ? ? ? ? ? ??????? ,,, bayx ，試證明（1） ? ?yxf , 是否連續？(2) ? ?yxf , 是否一
致連續？（8分）
第13頁，共13頁
【證明】（1）由題設，對 ? ?bax ,0
?? ， ? ?x? 連續，即對 0??? ，存在 ? ? 0,01
??? x ，當
10
0 ???? xx ，恒有 ? ? ? ? ??? ?? 0
xx ，故對任意 ? ? ? ? ? ???????? ,,, 00
baDyx ，對任意
0?? ，取 1
?? ? ，則當 ? ? ? ? ??????
2
0
2
0
0 yyxx （此時 10
0 ???? xx 滿足），
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? 000
,, xxyxfyxf
得知 ? ?yxf , 在點 ? ?0
, yx 處連續，由 ? ?0
, yx 的任意性，得到 ? ?yxf , 在 D 上處處連續。
(2)因為 ? ?x? 在閉區間? ?ba, 上連續，故在閉區間? ?ba, 上一致連續，與（1）類似可以證明 ? ?yxf ,
是一致連續的。
16.設 yx
ff , 和 yx
f 在點 ? ?00
, yx 的某鄰域內存在，且 yx
f 在點? ?00
, yx 處連續，試證明： ? ?00
, yxf xy
存在且 ? ? ? ?000
,, yxfyxf yxoxy
? 。（8 分）
【證明】注意到 xy
f 的定義表達式，令
? ? ? ? ? ? ? ?? ?00000000
,,,),, yxfyyxfyxxfyyxxfyxF ??????????????
? ? ? ? ? ?yxfyxxfyg ,, 00
???? ，對固定的 x?
則 ? ? ? ? ? ?00
, ygyygyxF ?????? ，由題設知道 ? ?yg 在 0
y 鄰近可導，根據微分中值定理，得到
? ? ? ? ? ? ? ?? ? yxfxxfygyxF yy
???????????? 10101
,,, ??? ，其中 1
? 介于 0
x 和 xx ??0 之間。又由題
設知道， ? ?yxf y
, 在 ? ?00
, yx 鄰近關于變量 x 可導，所以
? ? ? ? ? ? xfxfxxf yxyy
????? 121010
,,, ???? ，其中 2
? 介于 0
x 和 xxo
?? 之間，也即 02
x??
（ 0??x 時）， 01
y?? （ 0??y 時），得到
? ? ? ? yxfyxF yx
????? 12
,, ?? ，所以
? ?
? ?
? ?12
0000
00
,limlim
,
limlim, ??yx
xyxy
xy
f
yx
yxF
yxf
????????
?
??
??
? ，考慮到 yx
f 在點? ?00
, yx 處連續，即證得
? ?00
, yxf xy 存在且 ? ? ? ?000
,, yxfyxf yxoxy
? .
免責聲明：本文系轉載自網絡，如有侵犯，請聯系我們立即刪除，另：本文僅代表作者個人觀點，與本網站無關。其原創性以及文中陳述文字和內容未經本站證實，對本文以及其中全部或者部分內容、文字的真實性、完整性、及時性本站不作任何保證或承諾，請讀者僅作參考，并請自行核實相關內容。
|
文章搜索
您現在的位置： 
