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2019 年黑龍江大學農學學科
碩士研究生入學考試【農學數學】（高等數學 II）自命題大綱
第一部分 課程基本信息
【課程性質】 學科與專業必修課程
【課程基礎】 掌握高中代數，平面解析幾何，立體幾何等基本知識。
【適應對象】 化學化工與材料學院 化學、化學實驗班、應用化學、材料化學、環境科學、
高分子材料與工程、制藥工程（化學制藥）專業的本科生，生命科學學院 生
物工程、生物技術、制藥工程（生物制藥）、食品科學與工程專業的本科生，
建筑工程學院 土木工程（給水排水工程）專業的本科生，農業資源與環境
學院 農業資源與環境、種子科學與工程、水土保持與荒漠化防治專業的本
科生，信息管理學院 信息管理與信息系統、電子商務等專業的本科生，信
息科學技術學院計算機科學與技術學院(網絡工程)專業的本科生，國際文化
教育學院 理科專業的本科生。
【教學目的】 本課程是高等學校理工科（本科）相關專業的一門必修的基礎課，它為學習
后續課程提供必要的數學知識。同時還能培養學生的抽象思維能力、邏輯推
理能力、空間想象能力及綜合運算能力，進一步提高學生分析問題和解決問
題的能力，對今后的學習、研究和應用都具有關鍵的作用。
【內容提要】 一元函數微積分及其應用；空間解析幾何；多元函數微積分及其應用；級數
的一般理論；常微分方程。本課程分兩學期講授，其中第一學期講授第一至
六章（75 學時），第二學期講授第七至十一章（90 學時），總學時為 165
學時（具體分配情況可參考第二部分），其中帶*號的內容為選講內容。
第二部分 主要教學內容和基本要求
【主要教學內容】
第一章 函數
第一節 集合與映射
一、集合的基本概念及其運算
二、區間和鄰域
三、映射的概念及應用舉例
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第二節 函數及其基本性質
一、函數的概念
二、復合函數與反函數的概念
三、函數的幾種特性
四、初等函數
【基本要求】
一、熟練掌握集合的基本理論和函數、函數的定義域、值域、初等函數的概念，并能
建立簡單應用問題中的函數關系式；熟練掌握基本初等函數的性質及圖像。
二、掌握函數的性質（奇偶性、單調性、周期性和有界性）。
三、了解映射、單射、滿射、一一映射、復合映射與逆映射；了解復合函數及分段函
數的概念，了解反函數和隱函數的概念。
【參考學時】 5 學時
【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第二章 極限與連續
第一節 極限的定義
一、函數的極限
二、無窮小與無窮大
三、數列的極限
第二節 極限的性質及運算法則
一、極限的性質
二、極限的四則運算法則
三、復合函數的極限運算法則
第三節 極限存在準則 兩個重要極限
一、極限存在的兩個準則
二、兩個重要極限
三、應用舉例
第四節 無窮小的比較
一、無窮小的階的比較
二、等價無窮小之間的關系
三、等價無窮小替換求極限
第五節 函數的連續性
一、函數的連續性的概念
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二、函數的間斷點
三、連續函數的運算
四、初等函數的連續性
第六節 閉區間上連續函數的性質
一、有界性與最大、最小值定理
二、零點定理與介值定理
第七節 極限計算方法舉例
【基本要求】
一、熟練掌握極限存在與左右極限之間的關系，極限的性質及四則運算法則；熟練掌
握用變量代換求某些簡單復合函數的極限，熟練掌握兩個重要極限和無窮小的性質求極限；
熟練掌握連續函數的運算法則，并能利用初等函數的連續性計算極限。
二、掌握并理解極限的概念、函數連續性的概念和函數在一區間上連續的概念，能正確
判斷常用初等函數間斷點的類型；能利用連續函數的性質證明較簡單的問題；掌握無窮小
量的定義和階的概念及其簡單的運算。掌握無窮小與無窮大的概念、極限存在的兩個準則，
掌握閉區間上連續函數的性質。
【參考學時】 15 學時
【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第三章 導數與微分
第一節 導數的概念
一、導數的概念
二、導數的幾何意義
三、函數可導性與連續性的關系
第二節 導數的運算法則
一、函數的和、差、積、商的求導法則
二、反函數、復合函數的求導法則
三、基本初等函數的導數公式
四、初等函數的求導方法
第三節 高階導數
一、高階導數的概念
二、高階導數的計算方法舉例
第四節 隱函數及由參數方程所確定的函數的求導方法
一、隱函數的導數
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二、由參數方程所確定的函數的導數
三、取對數求導方法和相關變化率。
第五節 微分及其應用
一、微分的定義及基本運算法則
二、微分的幾何意義
三、微分形式的不變性
四、微分在近似計算中的應用。
【基本要求】
一、熟練掌握用導數與微分的運算法則求函數的導數與微分的方法；熟練掌握基本初
等函數的求導公式；熟練掌握隱函數、反函數和由參數方程確定的函數的導數以及這兩類
函數中比較簡單函數的二階導數，會解一些簡單實際問題中相關變化率問題。
二、掌握并理解導數和微分的概念；掌握導數、微分與連續之間的關系及導數的幾何
意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。
三、了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量；了解微分概念中所包含的局部
線性化思想，了解微分的有理運算法則和一階微分形式不變性；了解微分在近似計算中的
應用；了解高階導數的概念，會求簡單函數的 n 階導數。
【參考學時】 15 學時
【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第四章 微分中值定理與導數的應用
第一節 微分中值定理
一、Fermat 定理
二、Rolle 定理
三、Lagrange 中值定理
四、Cauchy 中值定理
第二節 L＇Hospital 法則
一、
0
0
型的 L＇Hospital 法則及其應用
二、
?
?
型的 L＇Hospital 法則及其應用
第三節 函數圖形的某些幾何性態的研究
一、函數單調性與極值
二、曲線的凹凸性與拐點
三、函數的極值與最大值、最小值問題
四、函數圖形的描繪
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第四節 Taylor 公式
一、Taylor 公式
二、Taylor 公式的應用
第五節* 方程的近似解
【基本要求】
一、熟練掌握 L＇Hospital 法則，并能運用其計算各種不定型的極限；熟練掌握利用
導數判斷函數的升降、確定函數的極值與最值、以及判斷函數的凸凹性和拐點的方法。
二、掌握并理解 Rolle 定理、Lagrange 中值定理并會運用。
三、了解 Cauchy 中值定理和 Taylor 中值定理。
【參考學時】 13 學時
【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第五章 一元函數的積分學
第一節 定積分的概念及其基本性質
一、定積分問題舉例
二、定積分的定義
三、定積分的基本性質
第二節 Newton-Leibniz 公式
一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系
二、原函數的概念
三、積分上限函數及其導數
四、Newton—Leibniz 公式
第三節 不定積分
一、不定積分的概念與基本性質
二、不定積分的換元積分法
三、不定積分的分部積分法
第四節 有理函數及某些可化為有理函數的積分
一、有理函數的積分
二、三角函數有理式的積分
三、根式函數有理函數的積分
四、積分表的使用方法
第五節 廣義積分
一、無窮限的廣義積分
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二、無界函數的廣義積分
第六節 定積分的計算
一、定積分的換元積分法
二、定積分的分部積分法
三、定積分的計算舉例
【基本要求】
一、熟練掌握定積分的基本性質和不定積分的基本公式以及求不定積分、定積分的換
元積分法和分 部積分法 （淡化特殊 積分技巧 的訓練）， 并能靈活 運用；熟 練掌握
Newton-Leibniz 公式。
二、掌握并理解定積分的概念與幾何意義（對于利用定積分定義求定積分與求極限不
作要求）；掌握原函數、不定積分的概念，理解積分上限函數及其求導定理。
三、了解一些有理函數的積分方法、兩類廣義積分及其收斂性及的概念。
【參考學時】 17 學時
【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第六章 定積分及其應用
第一節 定積分的元素法簡介
一、定積分的元素法
第二節 定積分在幾何學中的應用
一、平面圖形的面積
二、某些立體的體積
三、平面曲線的弧長
第三節 *定積分在物理學、化學、生物學中的應用
一、變力沿直線所作的功
二、 液體的壓力
三、 物體的引力
四、黏液定常流動時管流量的測定
五、平均值
【基本要求】
一、掌握科學技術問題中建立定積分表達式的元素法,會運用定積分的元素法求平面
圖形的面積、已知平行截面面積的立體的體積、旋轉體的體積、光滑曲線的弧長；
二、了解定積分在物理、化學、生物學等方面上的應用.
【參考學時】 10 學時
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【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第七章 向量代數與空間解析幾何簡介
第一節 向量及其線性運算
一、空間直角坐標系
二、向量的概念及線性運算
三、向量的模、方向角、投影
第二節 向量的數量積與向量積
一、兩向量的數量積
二、向量積
三、*混合積
第三節 平面與空間曲線
一、平面方程
二、空間直線方程
第四節 曲面和空間曲線
一、曲面方程的概念
二、空間曲線方程
三、空間曲線在坐標面上的投影
四、柱面
五、旋轉曲面與常見的二次曲面
【基本要求】
一、熟練掌握空間直角坐標系，會求兩點間的距離；熟練掌握向量的概念、表示及其
運算法則；熟練掌握用坐標表達式進行向量運算； 熟練掌握向量的數量積、向量積；熟練、
掌握直線和平面方程的概念及其求法。
二、理解解向量垂直與平行的條件；理解空間曲線在坐標面上的投影。理解曲面方程
的概念；理解空間曲線方程的概念、
三、了解混合積；了解空間點線、點面之間的距離；了解線線、線面、面面間的夾角
和距離；了解空間曲線的參數方程和一般方程。
【參考學時】 10 學時
【參考資料】 楊興云等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第八章 多元函數的微分學及其應用
第一節 多元函數的基本概念
一、平面點集
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二、多元函數的概念
三、二元函數的幾何意義
第二節 多元函數的極限與連續
一、多元函數的極限
二、多元函數的連續性
三、有界閉區域上連續函數的性質
第三節 偏導數與全微分
一、偏導數的概念、計算
二、高階偏導數
三、全微分的概念、全微分存在的條件及計算
第四節 復合函數偏導數的求導法則
一、復合函數偏導數的求導法則
二、復合函數的偏導數的計算
三、一階全微分形式的不變性
第五節 隱函數微分法
一、一個方程的情形
二、方程組的情形
第六節 方向導數和梯度
一、方向導數的概念及計算
二、梯度的概念及其意義
第七節 *多元函數的 Taylor 公式
第八節 多元函數的極值
一、多元函數的極值的概念及計算
二、多元函數的最大（?。┲档挠嬎?br/>三、條件極值與*拉格朗日乘數法
第九節 多元函數微分學在幾何上的應用
一、空間曲線的切線與法平面
二、空間曲面的切平面與法線
【基本要求】
一、熟練掌握偏導數、全微分及其簡單函數的高階偏導數的求法；熟練掌握多元函數
極值存在的必要條件，會求簡單多元函數的極值、最大（?。┲导捌浜唵螒妙}。
二、掌握并理解二元函數的概念及其幾何意義；掌握并理解偏導數，全微分的概念與
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多元函數極值和條件極值的概念。
三、了解多元函數的概念、方向導數和梯度的概念及計算方法；了解空間曲線的切線
與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程的求法；了解二元函數的極限與連續的概念
以及閉區域上連續函數的性質；了解 Lagrange 乘數法。
【參考學時】 20 學時
【參考資料】 李桂范等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第九章 多元函數的積分學及其應用
第一節 幾何體上的積分及其基本性質
一、何體上的積分的概念
二、幾種常見形式的幾何體上的積分
三、幾何體上積分的基本性質
第二節 二重積分的計算法
一、二重積分的幾何意義
二、直角坐標系與極坐標系下二重積分的計算
第三節 三重積分的計算
一、在直角坐標下計算三重積分
二、在柱坐標系下計算三重積分
三、在球面坐標系計算三重積分。
第四節 *第一類曲線積分與曲面積分的計算
一、第一類曲線積分性質與計算
二、第一類曲面積分的性質與計算
第五節 *第二類曲線積分與曲面積分
一、第二類曲線積分的概念、性質與計算
二、第二類曲面積分的概念、性質與計算
第六節 *幾種積分間的聯系
一、兩類曲線積分之間的轉化
二、兩類曲面積分之間的轉化
三、Green 公式
四、Gauss 公式
五、Stokes 公式
第七節 *積分與路徑無關的條件
一、平面曲線積分與路徑無關的條件
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二、二元函數的全微分求積
三、*空間曲線積分與路徑無關的條件
第八節 *場論初步
一、場的概念
二、向量場的散度、旋度、通量、環流量
第九節 *多元函數積分學的應用
一、積分的元素法簡介
二、質心、轉動慣量和引力
【基本要求】
一、熟練掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法，會計算簡單的三重積分（直
角坐標、柱面坐標、*球面坐標）。
二、了解幾何體上的積分的概念、第二類曲線積分和第二類曲面積分的概念；掌握兩
類曲線積分（對空間曲線的計算只做簡單訓練）和兩類曲面積分的計算方法；掌握 Green
公式、Gauss 公式，并會靈活運用。了解兩類曲線積分的性質及其關系、兩類曲面積分的性
質及其關系；了解第二類平面曲線積分與路徑無關的物理意義，了解 Stokes 公式，了解場
的基本概念，了解散度、旋度、通量、環流量的概念及其計算方法；了解科學技術問題中
建立重積分與曲線、曲面積分表達式的元素法（微元法），會建立某些簡單的幾何量和物理
量的積分表達式。
【參考學時】 20 學時
【參考資料】 李桂范等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第十章 無窮級數
第一節 常數項級數的概念及其基本性質
一、常數項級數的概念
二、常數項級數的基本性質
第二節 常數項級數的審斂法
一、正項級數及其審斂法
二、交錯級數及 Leibniz（萊布尼茲）定理
三、絕對收斂與條件收斂的概念
四、任意項級數斂散性的判別方法
第三節 函數項級數
一、函數項級數的概念及其基本性質
二、*函數項級數的一致收斂性及其判別法
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三、*一致收斂的函數項級數的性質
第四節 冪級數
一、冪級數的概念及基本性質
二、冪級數的收斂域及收斂區間
三、冪級數的運算及和函數的分析性質
四、函數的泰勒級數及泰勒級數展式在近似計算中的應用
五、*Euler 公式
第五節 *Fourier（傅里葉）級數
一、三角函數系的正交性及三角級數系
二、周期函數展開成傅里葉級數
三、一般函數展開成傅里葉級數
【基本要求】
一、熟練掌握利用收斂級數的性質判別級數收斂的一些方法；熟練掌握達朗貝爾判別
法，能判別級數的絕對收斂和條件收斂；熟練掌握冪級數的收斂區間和收斂半徑的求法，
能利用間接展開法將初等函數展開成冪級數。
二、理解無窮級數的和與收斂的概念。
三、了解用泰勒級數在近似計算中的應用。
【參考學時】 20 學時
【參考資料】 李桂范等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
第十一章 常微分方程
第一節 微分方程的基本概念
一、微分方程的基本概念
二、微分方程解、通解與特解、初始條件
三、微分方程的幾何意義
第二節 可分離變量的一階微分方程
一、可分離變量的微分方程
二、可化為可分離變量方程的幾種類型
第三節 一階線性微分方程
一、一階線性微分方程
二、Bernoulli 方程
第四節 *全微分方程
一、全微分方程的概念及全微分方程的解法
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二、積分因子
第五節 某些高階微分方程的降階解法
一、形如 )(
)(
xfy
n
? 的微分方程
二、形如 ),( yxfy ???? 的微分方程
三、形如 ),( yyfy ???? 微分方程
第六節 n 階線性微分方程解的結構
一、函數之間的線性相關與線性無關
二、二階線性微分方程通解的結構
三、高階齊次線性微分方程通解的結構
四、*n 階線性微分方程的冪級數解法
第七節 n 階常系數線性微分方程的解法
一、n 階常系數齊次線性微分方程的解法—特征根法
二、n 階常系數非齊次線性微分方程的解─比較系數法
三、Euler 方程
第九節 微分方程的應用舉例
一、用微分方程解決實際問題的一般步驟
二、微分方程應用舉例
【基本要求】
一、熟練掌握變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程的解法以及二階常系數齊
次線性微分方程的解法。
二、掌握并理解微分方程的有關概念、二階線性微分方程解的結構；掌握以及用降階
法解特殊的高階微分方程，會求自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它
們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解；掌握用微分方程解決一些簡
單的應用問題的方法。
三、了解全微分方程的解法、某些高于二階的常系數齊次線性微分方程和 Euler 方程的
解法。
【參考學時】 20 學時
【參考資料】 李桂范等編，高等數學[M].哈爾濱： 哈爾濱出版社，2009 年.
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