2019年黑龍江大學601自命題數學一考研大綱

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2019 年黑龍江大學碩士研究生入學考試大綱
考試科目名稱：自命題數學一考試科目代碼：[601]
一、考試要求
具有高中代數，平面解析幾何，立體幾何等基本知識。要求考生掌握一元函數微積分
及其應用；常微分方程；空間解析幾何；多元函數微積分及其應用；級數的一般理論及綜
合運算能力。
二、考試內容
第一章函數與極限
§1 映射與函數
集合，映射，函數；
§2 數列極限
數列極限的定義，收斂數列的性質；
§3 函數的極限
函數的極限的定義，函數極限的性質；
§4 無窮小與無窮大
無窮小，無窮大；
§5 極限運算法則
§6 極限存在準則，兩個重要極限
§7 無窮小的比較
§8 函數的連續性與間斷點
函數的連續性，函數的間斷點；
§9 連續函數的運算與初等函數的連續性
連續函數的和、差、積、商的連續性，反函數與復合函數的連續性，初等函數的連續
性；
§10 閉區間上連續函數的性質
有界性與最大值最小值定理，零點定理與介值定理；
第二章導數與微分
§1 導數的概念
引例，導數的定義，導數的幾何意義，函數可導性與連續性的關系；
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§2 函數的求導法則
函數的和、差、積、商的求導法則，反函數的求導法則、復合函數的求導法則，基本
求導法則與導數公式；
§3 高階導數
§4 隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率
隱函數的導數，由參數方程所確定的函數的導數，相關變化率；
§5 函數的微分
微分的定義，微分的幾何意義，基本初等函數的微分公式與微分運算法則，微分在近
似計算中的應用；
第三章微分中值定理與導數的應用
§1 微分中值定理
Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理；
§2 洛必達法則
§3 泰勒公式
§4 函數的單調性與曲線的凹凸性
函數單調性的判定法，曲線的凹凸性與拐點；
§5 函數的極值與最大值最小值
函數的極值及其求法，最大值最小值問題；
§6 函數圖形的描繪
§7 曲率
弧微分，曲率及其計算公式，曲率圓與曲率半徑；
§8 方程的近似解
二分法，切線法；
第四章不定積分
§1 不定積分的概念與性質
原函數與不定積分的概念，基本積分表，不定積分的性質；
§2 換元積分法
第一類換元法，第二類換元法；
§3 分部積分法
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§4 有理函數的積分
有理函數的積分，可化為有理函數的積分舉例；
§5 積分表的使用
第五章定積分
§1 定積分的概念與性質
定積分問題舉例，定積分定義，定積分的近似計算，定積分的性質；
§2 微積分基本公式
變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系，積分上限函數及其導數，
Newton—Leibniz 公式；
§3 定積分的換元法和分部積分法
定積分的換元法，定積分的分部積分法；
§4 反常積分
無窮限的反常積分，無界函數的反常積分；
第六章定積分的應用：
§1 定積分的元素法
§2 定積分在幾何學上的應用
平面圖形的面積，體積，平面曲線的弧長；
§3 定積分在物理學上的應用
變力沿直線所作的功，水壓力，引力；
第七章微分方程
§1 微分方程的基本概念
§2 可分離變量的微分方程
§3 齊次方程
齊次方程；
§4 一階線性微分方程
線性方程；
§5 可降階的高階微分方程
)(
)(
xfy
n
? 型微分方程， ),( yxfy ???? 型微分方程， ),( yyfy ???? 型微分方程；
4
§6 高階線性微分方程
二節線性微分方程舉例，線性微分方程的解的結構；
§7 常系數齊次線性微分方程
§8 常系數非齊次線性微分方程
)()( xPexf m
x?
? 型， ]sin)(cos)([)( xxPnxxPexf l
x
??
?
?? 型；
第八章空間解析幾何與向量代數
§1 向量及其線性運算
向量概念，向量的線性運算，空間直角坐標系，利用坐標作向量的線性運算，向量的
模、方向角、投影；
§2 數量積向量積
兩向量的數量積、兩向量的向量積；
§3 曲面及其方程
曲面方程的概念，旋轉曲面，柱面，二次曲面；
§4 空間曲線及其方程
空間曲線的一般方程，空間曲線的參數方程，空間曲線在坐標面上的投影；
§5 平面及其方程
平面的點法式方程，平面的一般方程，兩平面的夾角；
§6 空間直線及其方程
空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數方程，兩直線的夾角，直線與平
面的夾角，雜例；
第九章多元函數微分法及其應用
§1 多元函數的基本概念
平面點集、多元函數的概念，多元函數的極限，多元函數的連續性；
§2 偏導數
偏導數的定義及其計算法，高階偏導數；
§3 全微分
全微分的定義；
§4 多元復合函數求導法則
§5 隱函數求導公式
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一個方程的情形，方程組的情形；
§6 多元函數微分學的幾何應用
一元向量值函數及其導數，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；
§7 方向導數與梯度
方向導數、梯度；
§8 多元函數的極值及其求法
多元函數的極值及最大值、最小值，條件極值，拉格朗日乘數法；
第十章重積分
§1 二重積分的概念與性質
二重積分的概念，二重積分的性質；
§2 二重積分計算法
利用直角坐標系計算二重積分，利用極坐標系計算二重積分；
§3 三重積分
三重積分的概念，三重積分的計算；
§4 重積分的應用
曲面的面積，質心，轉動慣量，引力；
第十一章曲線積分與曲面積分
§1 對弧長的曲線積分
對弧長的曲線積分的概念與性質，對弧長的曲線積分的計算法；
§2 對坐標的曲線積分
對坐標的曲線積分的概念與性質，對坐標的曲線積分的計算法，兩類曲線積分之間的
聯系；
§3 Green（格林）公式及其應用
Green 公式，平面上曲線積分與路徑無關的條件，二元函數的全微分求積；
§4 對面積的曲面積分
對面積的曲面積分的概念與性質，對面積的曲面積分的計算法；
§5 對坐標的曲面積分
對坐標的曲面積分的概念與性質，對坐標的曲面積分的計算法，兩類曲面積分之間的
聯系；
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§6 高斯公式
高斯公式；
§7 斯托克斯公式
斯托克斯公式；
第十二章無窮級數
§1 常數項級數的概念和性質
常數項級數的概念，收斂級數的基本性質；
§2 常數項級數的審斂法
正項級數及其審斂法，交錯級數及其審斂法，絕對收斂與條件收斂；
§3 冪級數
函數項級數的概念，冪級數及其收斂性，冪級數的運算；
§4 函數展開成冪級數
§5 函數的冪級數展開式的應用
近似計算、微分方程的冪級數解法、歐拉公式；
§7 傅里葉級數
三角級數三角函數系的正交性，函數展開成傅里葉級數，正弦級數和余弦級數；
§8 一般周期函數的傅里葉級數
周期為 2l 的周期函數的傅里葉級數；
三、試卷結構
1．考試時間：180 分鐘
2．試卷分值：150 分
3．題型結構：（1）選擇題
（2）填空
（3）大題（包括證明題、計算題）
四、參考書目
《高等數學》（第六版），同濟大學數學系，高等教育出版社。

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