609 數學專業基礎課考試大綱

請考生注意：

1、數學專業基礎課試題含數學分析、高等代數二門課程的內容。

2、每門課試題滿分 75分。

數學分析考試大綱

一、基本內容與要求

(一) 極限論

1、透徹理解和掌握數列極限，函數極限的概念。掌握并能運用 ε-N，ε-X，ε-δ 語言處理極限問

題。

2、掌握收斂數列的性質及運算。掌握數列極限的存在條件(單調有界準則，迫斂性法則，柯西

準則)；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握利用兩個重要極限處理極限問題。

3、理解無窮小量和無窮大量的定義、性質和關系，掌握無窮小量階的比較和方法。

4、理解與掌握一元函數連續性的定義(點，區間)，間斷點及其分類，連續函數的局部性質；理

解單側連續的概念。

5、掌握和應用閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性）；

掌握初等函數的連續性，理解復合函數的連續性，反函數的連續性。

6、掌握實數連續性定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚

點定理、有限覆蓋定理。

7、理解平面點集的基本概念，二元函數的極限，累次極限，連續性概念；了解閉區間的套定

理，有限覆蓋定理，多元連續函數的性質。

(二) 微分學

1、理解和掌握導數與微分概念及其幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函

數的導數(特別是復合函數)。

2、理解單側導數、可導性與連續性的關系；掌握高階導數的求法，導數的幾何應用，微分在

近似計算中的應用。

3、熟練掌握中值定理的內容、證明及其應用；熟練掌握泰勒公式及在近似計算中的應用，能

夠把某些函數按泰勒公式展開。

4、能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限；掌握函數的某些基本特性(單調性、極值與最值、

凹凸性、拐點及漸近線)，能較正確地作出某些函數的圖象。

5、掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數、極值等概念；搞清全微分、偏導數、連續

之間的關系；掌握多元函數泰勒公式；會求多元函數的極值。

6、掌握隱函數的概念及隱函數的存在定理；會求隱函數的導數；會求曲線的切線方程，法平

面方程，曲面的切平面方程和法線方程；掌握條件極值概念及求法。

(三) 積分學

1、掌握原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有

理式積分法，并能利用它們來求函數的積分；會計算簡單的無理函數的積分。

2、掌握定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類； 掌握定積分與可變上限積分

的性質；能熟練地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。

3、掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；掌握"微元法"。

4、掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反

常積分的收斂性。

5、掌握含參變量定積分的概念與性質； 掌握含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念；掌

握含參變量廣義積分一致收斂的判別法；熟練應用歐拉公式。

6、掌握兩類曲線積分的概念及計算；掌握兩類曲線積分的性質；掌握兩類曲線積分的關系；

掌握格林公式的證明某些應用