中科院長春光機所博士研究生入學考試

《計算方法》考試大綱

一、  考 試 性 質

《計算方法》考試是為中國科學院長春光機所招收博士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數值計算素質。本課程是連接實際問題數學建模與計算機運算之間的橋梁；是一種研究并解決數學問題的數值近似解方法，是在計算機上使用的解數學問題的方法，在科學研究和工程技術中都要用到各種計算方法?？荚噧热莅ú逯刀囗検?，曲線擬合，數值積分，數值微分，非線性方程的數值解法，線性方程組的數值方法以及常微分方程數值解法。要求考生對數值計算的基本概念有較深入的了解，能夠系統地掌握書中基本定理的推導、證明和應用，注重學習計算方法中的逼近和迭代等數學思想和常用手法，獲取近似計算的能力，具有綜合運用所學知識分析問題和解決數值計算問題的能力，并能觸類旁通地應用到各個領域中。

二、  考試的基本要求

要求考生系統地理解數值分析的基本概念和基本理論，掌握數值計算的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數值運算能力和綜合運用所學的數值計算方法分析問題和解決問題的能力。

三、  考試方法和考試時間

考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為100分，考試時間為180分鐘。

四、考試內容和考試要求

（一)數值計算中的誤差

考試內容

誤差的種類及其來源，有效數字與誤差的關系，誤差的傳播與估計。

考試要求

1．了解誤差的來源和種類；

2．理解有效數字與誤差的關系；

3．了解減少誤差傳播的常用控制手法；

4．會計算誤差限與有效數字。

（二）插值

考試內容

多項式插值的拉格朗日（Lagrange）型式 ，牛頓(Newton)插值多項式，插值余項，分段插值 ，三次樣條函數 ，數值微分。

考試要求

1．深入理解拉格朗日插值多項式構造原理和插值余項；

2．熟練掌握拉格朗日插值多項式計算并能靈活運用不同插值條件構造插值多項式；

3．熟練掌握牛頓(Newton) 插值多項式的表達式和插值余項計算，包括差商計算；

4．了解龍格現象，分段插值意義；

5．了解三次樣條函數的插值意義，掌握三次樣條函數的構造步驟，以及所需的邊界條件；

6．掌握用差商、插值多項式計算數值微分。

（三）函數逼近與計算

考試內容

最佳一致逼近與最佳平方逼近，最佳一次逼近多項式，最佳平方逼近多項式，勒讓德多項式，切比雪夫多項式，函數按正交多項式展開，最小二乘法的定義以及計算，加權最小二乘法。

考試要求

1．理解最佳一致逼近與最佳平方逼近的概念；

2．會用切比雪夫定理構造最佳逼近函數，會求最佳一次逼近多項式；

3．能正確應用法方程組，獲得最佳平方逼近函數；

4．了解最小二乘法的定義；

5．熟練掌握最小二乘法對各種經驗公式的計算；

6．掌握曲線擬合的最小二乘方法，并能用該方法解決一些實際問題，如曲線擬合，解矛盾方程等。

（四）數值積分

考試內容

數值積分公式的代數精度，牛頓-柯特斯積分、復合梯形積分公式，復合辛普生積分，龍貝格算法，高斯型求積公式。

考試要求

1．了解求積公式代數精度，掌握插值型求積公式的構造；

2．熟練掌握牛頓-柯特斯積分的推導步驟，包括梯形積分公式和辛普生積分公式；

3、熟練掌握復合梯形積分、復合辛普生積分的公式推導和計算；

4．掌握龍貝格公式推導的基本原理和算法；

5．了解高斯型求積公式的定義和應用。

（五）非線性方程的數值解法

考試內容

二分法，迭代法，牛頓迭代法，正割法（弦截法）。

考試要求

1．應用二分法求非線性方程的根；

2．掌握迭代法的誤差估計分析式；

3．熟練掌握牛頓迭代法計算公式以及牛頓法的局部收斂性分析；

4．掌握正割法（弦截法）計算公式以及正割法收斂的階。

（六）解線性方程組的數值方法

考試內容

高斯（Gauss）消元法與列主元消元法，三角分解法，三對角方程的追趕法，向量和矩陣的范數，雅可比(Jacobi)迭代法，高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法，超松弛迭代，迭代矩陣收斂判斷，非線性方程組的迭代法。

考試要求

1．掌握高斯（Gauss）消元法與列主元消元法；

2．熟練掌握矩陣三角分解求解線性方程組的方法；

3．掌握求解三對角方程組的追趕法；

4．掌握求解對稱正定方程組的平方根法；

5．掌握向量和矩陣的范數計算，以及在判斷迭代矩陣收斂性中的應用；

6．熟練掌握雅可比(Jacobi)迭代法，包括迭代公式、迭代矩陣和收斂判斷；

7．熟練掌握高斯-塞德爾迭代法，包括迭代公式、迭代矩陣和收斂判斷；

8．了解線性方程組的超松弛迭代的迭代公式；

9．掌握非線性方程組的牛頓迭代法；

10．了解矩陣的條件數和病態方程組的概念，系數矩陣、常數項的擾動對解的影響。

（七）常微分方程數值解法

考試內容

歐拉(Euler)方法，龍格-庫塔方法，線性多步法方法，算法的的穩定性和收斂性。

考試要求

1．掌握歐拉(Euler)方法的計算格式、幾何意義和局部收斂階數；

2．了解初值問題、邊值問題、差分格式、顯式格式、隱式格式、預估校正等有關常微分方程數值解基本概念；

3．掌握龍格-庫塔公式的導出思想和方法，局部截斷誤差階數；

4．了解線性多步法計算公式的推導，了解阿達姆斯公式求解常微分方程的過程；

5．了解算法的局部收斂階數和整體收斂階數的關系；

6．能判斷常微分方程數值方法的穩定性，會求相應數值解法的穩定域；

7．掌握用歐拉方法、改進歐拉法、隱式歐拉法、龍格-庫塔法求解常微分方程的方法。

五、主要參考書目

1. 李慶揚，王能超，易大義．《數值分析》第五版．清華大學出版社，2008。

2. 楊大地等．《數值分析》．重慶大學出版社，1998。

3. 孫志忠等．《數值分析》第二版．東南大學出版社，2002。

4. 王德明等．《數值分析》．哈爾濱出版社，2001。

 編制單位：中國科學院長春光學精密機械與物理研究所

編制日期：2020年9月