2021年西北師范大學碩士研究生招生考試大綱

碩士研究生入學考試

同等學力加試

微分幾何 考試大綱

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學院名稱(蓋章)：    數學與統計學院     

學院負責人(簽字)：                         

編  制  時  間：  2019年 7 月2 日  

微分幾何考試大綱

一、考核要求

理解曲線論和曲面中的一些基本概念，準確掌握研究微分幾何的常用方法和基本結論。能夠以此為基礎研究現代微分幾何學，能夠理論聯系實際、分析和解決實際幾何問題。

二、考核要點

第一章考核曲線論的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正則參數曲面的概念，曲面的第一、二基本形式，曲面的各種曲率、曲面上的各種方向和對應曲線，特殊曲面的幾何意義和幾何特征；第三章考核等距對應和共形對應的基本概念，測地曲率的計算，測地線方程和基本性質，Gauss-Bonnet公式及重要結論，特殊曲面，理解測地曲率和測地線是內蘊幾何概念，了解協變微分。

三、考核內容

第一章       曲線論

第一節   曲線的概念

第二節   Frenet標架

第三節   空間曲線的曲率和撓率

第四節   曲線輪的基本定理

第五節   密切曲面

第六節   特殊曲線

說明：掌握曲線的概念，空間曲線的基本三棱形，曲率撓率和Frenet公式。掌握特殊曲線：平面曲線，一般螺線。掌握曲線上一點鄰近的結構和空間曲線論的基本定理。

第二章       曲面論

第一節   正則曲面的概念

第二節   曲面的第一基本形式

第三節   曲面的第二基本形式

第四節   法曲率與Weingarten變換

第五節   主曲率、Gauss曲率和平均曲率

第六節   漸近方向與漸近線、主方向與曲率線

第七節   特殊曲面

第八節   曲面論的基本定理

說明：掌握正則參數曲面的概念，掌握并能熟練計算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各種曲率，理解曲面上的特殊方向（指漸近方向和主方向）和特殊曲線（指漸近線和曲率線）的幾何意義。掌握可展曲面的幾何意義和幾何特征，懂得Gauss曲率是內蘊量，理解曲面論的基本定理。

第三章 曲面的內蘊幾何

第一節       等距對應與共形對應

第二節       測地曲率與測地線

第三節       Gauss-Bonnet公式

第四節       協變微分

第五節       常高斯曲率的曲面

說明：理解等距對應的意義。熟練掌握測地曲率的計算，掌握測地線的方程和基本性質。熟記Gauss-Bonnet公式及幾個重要推論。了解協變微分是歐氏平面上普通導數概念在曲面上的推廣。理解測地曲率和測地線是內蘊幾何概念。掌握常高斯曲率曲面。

四、參考書目

1. 陳維桓編著，《微分幾何》，北京大學出版社，2006年.

2. 蘇步青，胡和生等，《微分幾何》，高等教育出版社，1994年.

3. 梅向明,黃敬之編,《微分幾何》（第四版），高等教育出版社，2008年.