南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

考試大綱

科目代碼：T66

科目名稱：高等代數

第一部分  目標與基本要求

試題主要考核考生對高等代數的基礎理論、基本知識和基本技能掌握的程度，以及運用所學理論分析、解決問題的能力。

第二部分 內容與考核目標

1、多項式

（1）了解數域的概念；一元多項式的概念

（2）掌握整除、最大公因式、重因式、最小公倍式、可約、不可約、互素、多項式函數等概念；

（3）掌握輾轉相除法、Eisenstein判別法以及整系數多項式有理根的求法；

（4）掌握實系數、復系數多項式的性質。

2、行列式

（1）了解n級排列、n級行列式、子式及代數余子式的概念；

（2）n級行列式的基本性質、行列式的按一行（列）展開方法；Cramer法則；n級行列式的計算。

3、線性方程組

（1）了解n維向量空間概念；

（2）理解向量的線性相關、線性無關、極大無關組、矩陣的秩、自由未知量、增廣矩陣等概念；

（3）掌握線性方程組有解判別定理；線性方程組解的結構；極大無關組的求法，求解線性方程組的初等變換法；向量線性相關、線性無關性的證明。

4、矩陣

（1）了解矩陣的概念；伴隨矩陣及矩陣的逆的概念、矩陣等價的概念；

（2）理解初等變換與初等矩陣的關系；矩陣的運算法則；

（3）掌握矩陣的簡單分塊、性質及其運算法則；積秩定理；矩陣逆的求法。

5、二次型

（1）了解二次型的概念及其矩陣表示；二次型的標準形及其實、復規范形的概念；

（2）掌握正慣性指數、負慣性指數、符號差的概念；矩陣的主子式及順序主子式概念；矩陣合同的概念；

（3）掌握矩陣（二次型）的正定、半正定、不定的概念及其判定；二次型化為標準形的方法（包括化二次型為標準形之合同變換陣的求法）。

6、線性空間

（1）了解集合、映射的概念；線性空間的定義與簡單性質；

（2）理解基變換與坐標變換的概念及其求法；

（3）掌握維數、基與坐標的計算；線性子空間、子空間的交與和、直和的概念及其基本性質；子空間的交與和的求法；維數公式及其運用。

7、線性變換

（1）了解線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣；

（2）掌握矩陣特征值與特征向量的概念及其求法；線性變換的值域與核、不變子空間、約當（Jordan）標準形的概念；矩陣特征值與特征向量的基本性質；

（3）理解Hamilton一Cayley定理；矩陣與對角矩陣相似的充要條件。                                                                                                                                                 

8、λ-矩陣

（1）掌握λ-矩陣、初等因子、不變因子、行列式因子的計算。

（2）掌握若當標準型的求解。

9、歐幾里得空間

（1）理解歐氏空間的定義與基本性質；標準正交基、正交變換、正交矩陣的概念和基本性質；

（2）掌握歐幾里得空間之向量的長度、單位向量、夾角、以及度量矩陣的概念；施密特（Schmidt）正交化方法；

      （3）掌握對稱矩陣正交對角化方法以及將二次型化為標準形的正交化方法。

第三部分  有關說明與實施要求

1、基本要求：理解和掌握一元多項式理論、線性代數的代數理論（行列式、矩陣、線性方程組、二次型、λ-矩陣）以及線性代數的幾何理論（線性空間、線性變換、歐氏空間）。

2、 命題說明：題型包括填空題、解答題和證明題，分別占大約20分、50分、30分。試題內容中“了解”部分約占15%，“理解” 部分約占40%，“掌握” 部分約占45%。

3、 參考書目: 《高等代數》（第四版），北京大學數學系編，高等教育出版社。

4、 其他規定：考試方式為閉卷筆試，總分100分，考試時間為120分鐘。