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2020西南石油大學高等代數碩士研究生招生專業課考試大綱
考試科目名稱：高等代數
一、考試性質
高等代數是碩士研究生入學考試科目之一。本考試大綱的制定力求反映招生類型的特點，科學、公平、準確、規范地測評考生的相關基礎知識掌握水平，考生分析問題和解決問題及綜合知識運用能力。應考人員可根據本大綱的內容和要求自行學習相關內容和掌握有關知識。
本大綱主要包括行列式、矩陣、線性方程組、方陣對角化、二次型、多項式、線性空間、線性變換和歐幾里得空間等內容。
二、考試主要內容
1、 行列式
考試范圍：n階行列式的定義，n階行列式的性質與計算。
基本要求：
（1）理解排列及其逆序數，理解n階行列式的定義，能利用定義計算行列式的值。
（2）熟練掌握行列式的性質，能熟練計算低階行列式的值，能計算較簡單的n階行列式的值。
2、矩陣
考試范圍：矩陣及其運算，分塊矩陣與矩陣的初等變換，矩陣的秩，可逆矩陣。
基本要求：
（1）理解矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、方陣的冪及矩陣的轉置等概念，熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉置及其運算規律。
（2）理解分塊矩陣、準對角矩陣、初等變換和初等矩陣的概念，熟練掌握分塊矩陣的運算。
（3）理解初等變換與初等矩陣的概念及基本作用，了解矩陣等價的概念及性質，能用矩陣的初等變換化矩陣為標準形。
（4）理解矩陣的子式、矩陣的秩的定義，熟練掌握矩陣的秩的性質，能求矩陣的秩。
（5）理解滿秩矩陣的概念，掌握滿秩矩陣的性質。
（6）掌握兩個方陣與其乘積的秩的關系式，能熟練運用方陣乘積的行列式的公式。
（7）理解可逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質，掌握矩陣可逆的充分必要條件。
（8）理解伴隨矩陣的概念，掌握伴隨矩陣的性質，會用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣，能熟練運用矩陣的初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，能解矩陣方程。
3、線性方程組
考試范圍：向量及其線性運算，向量組的線性相關性，向量組的秩， 線性方程組解的判定定理，齊次線性方程組解的結構，非齊次線性方程組解的結構。
基本要求：
（1）理解n維向量的概念，熟練掌握n維向量的線性運算及其運算規律。
（2）理解向量組的線性組合的概念，能將向量表示成向量組的線性組合。
（3）理解向量組的線性相關與線性無關的定義，熟練掌握向量組線性相關、線性無關的判別法，掌握向量組線性相關、線性無關的有關重要結論。
（4）理解向量組等價、向量組的極大線性無關組和向量組秩的概念，理解向量組的秩與矩陣秩的關系。
（5）會求向量組的秩和向量組的一個極大線性無關組，并能用向量組的一個極大線性無關組線性表出該向量組中的其它向量。
（6）理解線性方程組的基本概念，掌握克拉默（Cramer）法則，會用克拉默法則解線性方程組。
（7）熟練掌握線性方程組解的判定定理，能用初等變換法解線性方程組。
（8）理解齊次線性方程組的基礎解系及通解等概念，掌握齊次線性方程組解的性質，能熟練解齊次線性方程組。
（9） 掌握非齊次線性方程組解的性質，理解非齊次線性方程組的解的結構。
（10）掌握非齊次線性方程組的性質，理解非齊次線性方程組的解的結構，能熟練解非齊次線性方程組。
4、方陣對角化
考試范圍：內積，特征值與特征向量，矩陣對角化。
基本要求：
（1）理解向量的內積、正交向量組的概念，掌握內積、正交向量組的性質，掌握施密特（Schmidt）正交化方法。
（2）理解正交矩陣的概念，熟練掌握正交矩陣的性質和實方陣是正交矩陣的條件。
（3）理解方陣的特征值、特征向量、特征多項式和特征方程等概念，會求矩陣的特征值和特征向量，熟練掌握方陣的特征值和特征向量的性質。
（4）理解矩陣相似的概念，并熟練掌握它們的性質。
（5）理解方陣相似對角矩陣的條件，掌握將矩陣對角化的方法。
（6）理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質，熟練掌握用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法。
5、二次型
考試范圍：二次型及其標準形，正定二次型。
基本要求：
（1）理解二次型及其矩陣、秩、線性替換、矩陣合同、二次型的標準形和規范形等概念，會用用配方法化二次型為標準形，熟練掌握用正交變換化實二次型為標準形的方法。
（2）掌握慣性定理，理解正慣性指數、負慣性指數等概念。
（3）理解正定二次型及正定矩陣等概念，掌握實二次型是正定二次型的條件，掌握正定二次型與正定矩陣的判別法。
6、多項式
考試范圍：一元多項式的運算及其整除性，最大公因式，因式分解唯一定理和重因式，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式。
基本要求：
（1）理解一元多項式的基本概念，熟練掌握一元多項式的運算。
（2）理解一元多項式的整除的概念，掌握整除的性質和定理。
（3）理解最大公因式、互素等概念，掌握有關定理，能用輾轉相除法求最大公因式。
（4）理解不可約多項式、重因式等概念，理解因式分解唯一定理及標準分解式，掌握多項式無重因式的充要條件。
（5）了解復數域和實數域上的多項式的因式分解定理。
（6）理解艾森斯坦因判別法，能求有理系數多項式的有理根。
7、線性空間
考試范圍：線性空間的定義與性質，向量組的線性關系，維數、基、坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。
基本要求：
（1）理解線性空間的定義，掌握線性空間的簡單性質。
（2）理解線性空間中向量組的線性組合、向量的線性表出、向量組的線性相關與線性無關、向量組等價、向量組的極大線性無關組和向量組的秩等概念，掌握有關重要結論。
（3）理解線性空間的維數、基與坐標等概念，能求線性空間的維數與一組基，能求向量的坐標。
（4）掌握基變換與坐標變換公式，能求由一組基到另一組基的過渡矩陣。
（5）理解線性子空間和子集生成的子空間等概念，掌握子空間判別方法。
（6）理解子空間的交與和等概念，掌握子空間的交與和的重要性質和維數公式。
（7）理解子空間的直和概念，掌握子空間的直和的重要性質。
（8）理解映射、單射映射、滿射映射、雙射映射和同構映射等概念，掌握同構映射的基本性質。
8、線性變換
考試范圍：線性變換及其運算，線性變換的矩陣，線性變換的特征值與特征向量，不變子空間。
基本要求：
（1）理解線性變換、可逆線性變換等概念及其性質，掌握線性變換的運算，掌握可逆線性變換的判定方法，了解線性變換的冪與多項式。
（2）理解線性變換的矩陣的概念，能求線性變換的矩陣，掌握同一個線性變換在不同基下的矩陣間的關系。
（3）理解線性變換的特征值與特征向量的概念，能求線性變換的特征值與特征向量。
（4）掌握線性變換的特征值和特征向量的性質，掌握線性變換在一組基下的矩陣是對角矩陣的條件。
（5）理解不變子空間、特征子空間、值域和核等概念，掌握線性變換的秩與零度的關系。
9、歐幾里得空間
考試范圍：歐氏空間的定義與性質，度量矩陣，標準正交基，正交補，歐氏空間的同構，正交變換與對稱變換。
基本要求：
（1）理解歐氏空間及其度量的概念，掌握歐氏空間的性質。
（2）理解度量矩陣的概念，能求度量矩陣，掌握不同基的度量矩陣之間的關系。
（3）理解正交基、標準正交基等概念，掌握基是標準正交基的條件，掌握從一組標準正交基到另一組標準正交基的過渡矩陣的性質。
（4）理解正交和、正交補、內射影等概念，掌握正交補的求法和有關理論。
（5）理解歐氏空間同構的概念。
（6）理解正交變換與對稱變換等概念，掌握正交變換與對稱變換的有關性質。
三、考試形式和試卷結構
1、考試時間和分值
考試時間為180分鐘，試卷滿分為150分。
2、考試題型結構
（1）計算題：根據題目內容完成相應問題的計算，要求給出具體計算過程。
（2）證明題：根據題目內容完成相應問題的證明，要求給出具體證明過程。
四、參考書目
1、《高等代數教程》（第一版），上冊，王萼芳編著，清華大學出版社，2011
2、《高等代數教程》（第一版），下冊，王萼芳編著，清華大學出版社，2011
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