西南石油大學數學分析2020年碩士研究生招生專業課考試大綱

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考試科目名稱：數學分析

一、考試性質

數學分析是碩士研究生入學考試科目之一。本考試大綱的制定力求反映招生類型的特點，科學、公平、準確、規范地測評考生的相關基礎知識掌握水平，考生分析問題和解決問題及綜合知識運用能力。應考人員可根據本大綱的內容和要求自行學習相關內容和掌握有關知識。

本大綱主要包括一元函數微分學和積分學、多元函數微分學和積分學、無窮級數、實數理論等部分組成。考生應掌握數學分析的基本概念，理解數學分析的基本理論，熟練掌握數學分析的各種運算，理解數學分析的基本思想和方法。

二、考試主要內容

（一）函數、極限與連續

1、考試范圍

實數及其性質，確界及確界原理，函數的概念及有界性、單調性、周期性和奇偶性；數列極限與函數極限的定義、性質及存在的條件，兩個重要極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量階的比較，曲線的漸近線；一元函數連續和一致連續的概念，函數間斷點及其分類，連續函數的性質，初等函數的連續性。

2、基本要求

(1)了解實數的概念，理解確界概念、確界原理；理解函數、復合函數、分段函數和初等函數的概念；了解有界函數、單調函數、奇（偶）函數、周期函數。

(2)理解數列極限概念，掌握收斂數列的性質及數列極限存在的條件。

(3)理解函數極限的概念,掌握函數極限的性質；熟練掌握函數極限的存在條件和兩個重要極限；理解無窮小量的概念，熟練掌握等價無窮小量求極限的方法；了解曲線的漸近線。

(4)理解和掌握一元函數連續和一致連續的概念及其證明；熟練掌握函數間斷點及其分類和閉區間上連續函數的性質；了解反函數的連續性，理解復合函數的連續性，初等函數的連續性。

（二）一元函數微分學

1、考試范圍

導數和微分的概念，導數的幾何意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線和法線；導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數；微分中值定理，洛必達法則，泰勒公式，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數的最大值與最小值。

2、基本要求

(1)理解導數的概念和幾何意義，掌握單側導數、可導性與連續性的關系，會求平面曲線的切線方程和法線方程。

(2)熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式，會求分段函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。

(3) 理解高階導數的概念，掌握萊布尼茲公式，會求簡單函數的高階導數；理解微分和高階微分的概念，會求函數的微分。

(4)理解和掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式，熟練掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
(5)理解函數極值的概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數的最大值和最小值的求法及其應用。

(6)理解凹凸函數的概念，掌握用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點，了解函數圖形的描繪。

（三）一元函數積分學

1、考試范圍

原函數和不定積分的概念，不定積分基本性質，基本積分公式，定積分的概念和基本性質，積分中值定理，變限積分及其導數，牛頓-萊布尼茨公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，反常積分及其收斂判別法；平面圖形的面積，旋轉體的體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積。

2、基本要求

(1)理解原函數和不定積分的概念，熟練掌握基本初等函數的不定積分；熟練掌握換元積分法與分部積分法；掌握有理函數、簡單的無理函數與三角有理函數的不定積分。

(2)理解定積分的概念和可積準則；掌握常用的可積函數類、定積分的性質及積分中值定理；理解變限積分的概念與原函數存在定理。熟練掌握計算定積分的牛頓-萊布尼茲公式、換元公式和分部公式。

(3)掌握用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積、平面曲線的弧長、旋轉面的面積；了解定積分在物理上的應用。

(4)理解無窮積分，瑕積分的概念；掌握無窮積分，瑕積分的性質和收斂判別法。

（四）多元函數微分學

1、考試范圍

多元函數的概念，二元函數的極限、累次極限與連續的概念，有界閉域上二元連續函數的性質；多元函數的偏導數和全微分，多元復合函數、隱函數、隱函數組的求導法，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值。

2、基本要求

(1)了解多元函數的概念，理解和掌握二元函數的極限、累次極限、連續性概念及其關系，了解有界閉區域上二元連續函數的性質。

(2)理解偏導數與全微分的概念，掌握全微分、偏導數、連續之間的關系；熟練掌握偏導數和全微分的計算，會用可微的定義判斷多元函數是否可微；熟練掌握復合函數微分的計算。

(3)了解方向導數和梯度的概念及其相互關系；理解二元函數極值的必要和充分條件，掌握二元函數極值的計算。

(4)了解隱函數的存在條件與結論，掌握隱函數導數的求法；了解隱函數組的概念及隱函數組定理，掌握隱函數組偏導數的計算。

(5)掌握曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程的求法；熟練掌握條件極值的計算，會求多元函數的最大值和最小值。

（五）多元函數積分學

1、考試范圍

含參量正常積分的概念及其性質，含參量反常積分一致收斂性概念、性質及其判別方法；二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用；兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關系，格林公式，平面曲線積分與路徑無關的條件，二元函數全微分的原函數；兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關系，高斯公式，斯托克斯公式。

2、基本要求

(1)掌握含參量正常積分的概念及其性質；理解含參量反常積分一致收斂性概念和性質；熟練掌握含參量反常積分一致收斂性的判別方法；了解歐拉積分。

(2)理解二重積分和三重積分的概念和性質，熟練掌握二重積分和三重積分的計算。

(3)理解兩類曲線積分的概念和性質，掌握兩類曲線積分的計算；了解兩類曲線積分的關系,熟練掌握格林公式的應用, 會運用曲線積分與路徑的無關性，會求二元函數全微分的原函數。

(4)理解兩類曲面積分的概念和性質，掌握兩類曲面積分的計算；了解兩類曲面積分的關系；熟練掌握高斯公式的應用，會用斯托克斯公式計算曲線積分。

(5)了解曲面的面積、物體的重心、轉動慣量與引力的計算。

（六）無窮級數

1、考試范圍

常數項級數收斂與發散的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，柯西準則；正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂；函數列與函數項級數一致收斂性的概念，一致收斂函數列與函數項級數的性質，函數列與函數項級數一致收斂性判別法；冪級數及其收斂半徑、收斂區間和收斂域，冪級數的和函數，函數的冪級數展開式；函數的傅里葉系數與傅里葉級數，收斂定理及其證明，函數在