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自命題科目考試大綱
科目代碼：714
科目名稱：高等數學
一、考試要求
《高等數學》考試是為招收統計學學術碩士研究生而設置的具有選拔性質的考試科目。其目的是科
學、公平和有效地測試考生是否具備攻讀統計學學術碩士學位所必須的基本數學素質和培養潛能，以便
選拔具有發展潛力的優秀人才入學，為國家的經濟建設培養具有良好職業道德、法制觀念和國際視野、
具有較強分析問題與解決實際問題能力的高層次統計專業人才。本課程考試主要測試考生掌握數學分析
與高等代數基本知識、理論與方法的水平，以及運用其解決問題的基本能力。具體要求如下：
（一）數學分析部分
1．函數 極限 連續
在理解函數、極限與連續性概念的基礎上，掌握極限的計算方法，理解閉區間上連續函數的性質，
并會應用這些性質。
2．一元函數微分學
在理解導數的概念及可導性與連續性之間關系的基礎上，掌握基本初等函數的導數公式、導數的四
則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數、反函數與隱函數的導數及高階導數；了解導數的幾
何意義與經濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程；了解微分的概念、
導數與微分之間的關系以及一階微分形式的不變性，會求函數的微分；理解羅爾（Rolle）定理、拉格
朗日( Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）定理及柯西（Cauchy)中值定理，并掌握其簡單應用；掌握
洛必達法則求極限、函數單調性的判別的方法，掌握函數極值、最大（?。┲档那蠓捌鋺茫瑫脤?
數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區間
內，設函數
具有二階導數．當
時，
的
圖形是凹的；當
時，
的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點和漸近線，會描述簡單函數
的圖形。
3．一元函數積分學
在理解原函數與不定積分概念的基礎上，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，掌握不定積分
的換元積分法與分部積分法；了解定積分的概念、基本性質和解定積分中值定理；理解積分上限的函數
并會求其導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式及定積分的換元積分法和分部積分法；會利用定積分計算平面
圖形的面積、旋轉體的體積和函數的平均值以及求解簡單的經濟應用問題；了解反常積分的概念，會計
算反常積分。
4．多元函數微分學
在理解多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續性、多元函數偏導數與全微
分概念的基礎上，掌握求多元函數偏導數（一階、二階）、全微分的方法；了解多元函數極值和條件極
值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件及二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值及p
2
簡單多元函數的最大（?。┲?，會解決簡單的應用問題。
5．重積分
在理解二重積分的概念與基本性質的基礎上，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）；了
解無界區域上較簡單的反常二重積分并會計算。
6．無窮級數
在了解級數收斂與發散、收斂級數的和的概念以及級數收斂的必要條件的基礎上，掌握幾何級數及
級數的收斂與發散的條件，掌握正項級數審斂法；了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其
關系，掌握交錯級數審斂法；會求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域；了解冪級數在其收斂區間內
的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數。
7．微分方程與差分方程
在了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念的基礎上，掌握變量可分離的微分方程、
齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法；了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，掌握二階
常系數齊次線性微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程（自由項為多項式、指數函數、正弦函數或
余弦函數）的求解方法；會用微分方程求解簡單的經濟應用問題；了解差分與差分方程及其通解與特解
等概念，掌握一階常系數線性差分方程的求解方法。
（二）高等代數部分
1．行列式
在了解行列式概念的基礎上，掌握行列式的性質，會應用行列式的性質和按行（列）展開定理計算
行列式。
2．矩陣
在理解矩陣及相關概念的基礎上，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、冪、乘積的行列式及其運算
性質，掌握逆矩陣的概念、性質、矩陣可逆的充分必要條件及求逆矩陣的方法；理解矩陣等價及矩陣秩
的概念，掌握用初等變換求矩陣秩的方法；了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則．
3．向量
在理解向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關與線性無關、向量組的極大線性無關組及向
量組等價概念的基礎上，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法，會求向量組的極大線性
無關組及秩，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系；了解內積的概念，掌握線性無關向量
組正交規范化的施密特（Schmidt）方法；在理解向量空間概念的基礎上，會求向量空間的基、維數與
向量在給定基下的坐標、基之間的過渡矩陣。
4．線性方程組
在理解線性方程組解的結構及通解概念的基礎上，掌握求解線性方程組的高斯消元法（用初等行變
換求解線性方程組的方法）及解的判定定理，理解基礎解系的概念并掌握基礎解系的求法。
5．矩陣對角化
在理解矩陣的特征值、特征向量的概念基礎上，掌握矩陣特征值的性質、求矩陣特征值和特征向量
的方法；理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣3
化為相似對角矩陣的方法；掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質及其對角化的方法。
6．二次型
在了解二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、二次型的標準形和規范形概念的
基礎上，指導慣性定理，掌握化二次型為標準型的方法；理解正定二次型、正定矩陣的概念，掌握其判
別方法。
二、考試形式及時間
考試形式為閉卷筆試；考試時間 150 分鐘。
三、考試內容
（一）數學分析部分
1．函數 極限 連續
（1）函數極限存在性判別及計算；
（2）函數連續性討論；
（3）閉區間上連續函數性質的應用。
2.一元函數微分學
（1）導數的概念、幾何意義和經濟意義（含邊際與彈性的概念），可導性與連續性之間的關系；
（2）求導法則、高階導數；
（3）微分的概念及計算方法；
（4）微分中值定理（四個）及簡單應用；
（5） 洛必達法則求極限的方法；
（6）函數單調性、極值、最大（?。┲档那蠓扒€拐點和漸近線的求法；
（7）最大（?。┲档膽眉昂唵魏瘮档膱D形的描述。
3．一元函數積分學
（1）原函數與不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式及計算方法（換元積分法與
分部積分法）；
（2）定積分的概念、基本性質及積分中值定理，積分上限的函數導數計算方法，定積分的計算方
法；
（3）定積分的幾何應用和利用定積分求解簡單經濟應用問題；
（4）反常積分的計算。
4．多元函數微分學
（1）多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續性及有界閉區域上二元連續
函數的性質；
（2）多元函數偏導數與全微分的概念, 求多元函數（復合函數、隱函數）偏導數、全微分的方法
（3）多元函數極值存在的必要條件及二元函數極值存在的充分條件；
（4） 二元函數的極值、條件極值的求法（拉格朗日乘數法），簡單多元函數的最大（小）值及解
決簡單的應用問題的方法。4
5．重積分
（1）二重積分的概念、基本性質和計算方法；
（2）無界區域上簡單的反常二重積分計算方法。
6．無窮級數
（1）常數項級數的收斂與發散、收斂級數的和的概念及級數收斂的必要條件；
（2）掌握正項級數審斂法（比較判別法、比值判別法、根值法）；
（3）級數絕對收斂與條件收斂的概念及二者之間的關系，交錯級數的萊布尼茨判別法；
（4）冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；
（5）簡單冪級數在其收斂區間內的和函數的求法，簡單初等函數的冪級數展開式。
7．微分方程與差分方程
（1）變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法；
（2）線性微分方程解的性質及解的結構定理；
（3）二階常系數齊次、非齊次線性微分方程的求解方法；
（4）一階常系數線性差分方程通解與特解的求解方法；
（5）微分方程的簡單應用。
（二）高等代數部分
1．行列式
（1）行列式的性質；
（2）行列式的計算方法。
2．矩陣
（1）矩陣的線性運算、乘法、轉置、冪、乘積的行列式及其運算規律；
（2）逆矩陣概念、性質，矩陣可逆的充分必要條件及求逆矩陣的方法、矩陣方程解法；
（3）矩陣的秩的概念及求秩的方法；
（4） 分塊矩陣的運算法則。
3．向量
（1）向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法；
（2）向量組的極大線性無關組、秩的求法及將剩余向量由所求極大無關組線性表示的方法；
（3）線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法；
（4）向量空間的基、維數與向量在給定基下的坐標、基之間的過渡矩陣。
4．線性方程組
（1）齊次線性方程組有非零解的判定、基礎解系和通解的求法；
（2）非齊次線性方程組有解和無解的判定、解的結構及通解的求法。
5．矩陣對角化
（1）矩陣的特征值與特征向量的概念、性質及其求法；
（2）矩陣相似的概念，相似矩陣的性質、矩陣可相似對角化的充分必要條件及將矩陣化為相似對5
角矩陣的方法；
（3）實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質及其對角化的方法。
6．二次型
（1）二次型的矩陣表示，合同變換與合同矩陣的概念、慣性定理；
（2）用正交變換和配方法化二次型為標準形的方法；
（3）正定二次型（正定矩陣）的判別方法。
四、考試題型及比例
考試題型分為三種，即單項選擇題、計算與分析題、應用與證明題。各題型題型的分數如下表：
題型
分數
單項選擇題
計算與分析題
應用與證明
分數
50 分
75 分
25 分
五、參考書目
1．羅蘊玲等編著.高等數學及其應用（第二版）.高等教育出版社，2016.
2．李乃華等編著.線性代數及其應用（第二版）.高等教育出版社，2016.
3．華東師范大學數學系編.數學分析（第四版上冊）.高等教育出版社，2012.
4．北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.高等代數（第三版）.高等教育出版社，2003
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