天津商業大高等數學2021年碩士研究生招生考試

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天津商業大學 2021年碩士研究生招生考試（初試）自命題科目考試大綱

科目代碼：714 科目名稱：高等數學

一、考試要求

《高等數學》考試是為高等院校和科研院所招收統計學學術碩士研究生而設置的具有

選拔性質的考試科目。其目的是科學、公平和有效地測試考生是否具備攻讀統計學學術碩

士學位所必須的基本數學素質和培養潛能，以便選拔具有發展潛力的優秀人才入學，為國

家的經濟建設培養具有良好職業道德、法制觀念和國際視野、具有較強分析問題與解決實

際問題能力的高層次統計專業人才。本課程考試主要測試考生掌握數學分析與高等代數基

本知識、理論與方法的水平，以及運用其解決問題的基本能力。

二、考試形式及時間

（一）考試形式：考試方式為閉卷筆試。

（二）考試時間：試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。

三、考試內容

數學分析部分

（一）函數極限連續

在理解函數、極限與連續性概念的基礎上，掌握極限的計算方法，理解閉區間上連續

函數的性質，并會應用這些性質。

具體考核主要包括：

1.函數極限存在性判別及計算；

2.函數連續性討論；

3.閉區間上連續函數性質的應用。

（二）一元函數微分學

在理解導數的概念及可導性與連續性之間關系的基礎上，掌握基本初等函數的導數公

式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則，會求分段函數、反函數與隱函數的導數

及高階導數；了解導數的幾何意義與經濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的

切線方程和法線方程；了解微分的概念、導數與微分之間的關系以及一階微分形式的不變

性，會求函數的微分；理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）

定理及柯西（Cauchy)中值定理，并掌握其簡單應用；掌握洛必達法則求極限、函數單調

性的判別的方法，掌握函數極值、最大（小）值的求法及其應用，會用導數判斷函數圖形

的凹凸性（注：在區間 (a,b)內，設函數 f (x) 具有二階導數．當 f¢¢(x) > 0 時， f (x) 的圖形

是凹的；當 f ¢¢(x) < 0 時， f (x) 的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點和漸近線，會描述簡

單函數的圖形。

具體考核主要包括：

1.導數的概念、幾何意義和經濟意義（含邊際與彈性的概念），可導性與連續性之間

的關系；

2.求導法則、高階導數；

3.微分的概念及計算方法；

4.微分中值定理（四個）及簡單應用；

5. 洛必達法則求極限的方法；

6．函數單調性、極值、最大（小）值的求法及曲線拐點和漸近線的求法；

7．最大（?。┲档膽眉昂唵魏瘮档膱D形的描述。

（三）一元函數積分學

在理解原函數與不定積分概念的基礎上，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式，

掌握不定積分的換元積分法與分部積分法；了解定積分的概念、基本性質和解定積分中值

定理；理解積分上限的函數并會求其導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式及定積分的換元積分

法和分部積分法；會利用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數的平均值以及

求解簡單的經濟應用問題；了解反常積分的概念，會計算反常積分。

具體考核主要包括：

1．原函數與不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式及計算方法（換

元積分法與分部積分法）；

2．定積分的概念、基本性質及積分中值定理，積分上限的函數導數計算方法，定積

分的計算方法；

3．定積分的幾何應用和利用定積分求解簡單經濟應用問題；

4．反常積分的計算。

（四）多元函數微分學

在理解多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續性、多元函數

偏導數與全微分概念的基礎上，掌握求多元函數偏導數（一階、二階）、全微分的方法；

了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件及二元函數極值

存在的充分條件，會求二元函數的極值及簡單多元函數的最大（?。┲?，會解決簡單的應

用問題。

具體考核主要包括：

1．多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續性及有界閉區域

上二元連續函數的性質；

2．多元函數偏導數與全微分的概念, 求多元函數（復合函數、隱函數）偏導數、全

微分的方法；

3．多元函數極值存在的必要條件及二元函數極值存在的充分條件；

4. 二元函數的極值、條件極值的求法（拉格朗日乘數法），簡單多元函數的最大（?。?

值及解決簡單的應用問題的方法。

（五）重積分

在理解二重積分的概念與基本性質的基礎上，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、

極坐標）；了解無界區域上較簡單的反常二重積分并會計算。

具體考核主要包括：

1．二重積分的概念、基本性質和計算方法；

2．無界區域上簡單的反常二重積分計算方法。

（六）無窮級數

在了解級數收斂與發散、收斂級數的和的概念以及級數收斂的必要條件的基礎上，掌

握幾何級數及 p 級數的收斂與發散的條件，掌握正項級數審斂法；了解任意項級數絕對收

斂與條件收斂的概念及其關系，掌握交錯級數審斂法；會求冪級數的收斂半徑、收斂區間

及收斂域；了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積

分），會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數。

具體考核主要包括：

1．常數項級數的收斂與發散、收斂級數的和的概念及級數收斂的必要條件；

2．掌握正項級數審斂法（比較判別法、比值判別法、根值法）；

3．級數絕對收斂與條件收斂的概念及二者之間的關系，交錯級數的萊布尼茨判別法；

4．冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；

5．簡單冪級數在其收斂區間內的和函數的求法，簡單初等函數的冪級數展開式。

（七）微分方程與差分方程

在了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念的基礎上，掌握變量可分

離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法；了解線性微分方程解的性

質及解的結構定理，掌握二階常系數齊次線性微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程

（自由項為多項式、指數函數、正弦函數或余弦函數）的求解方法；會用微分方程求解簡

單的經濟應用問題；了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，掌握一階常系數線性差

分方程的求解方法。

具體考核主要包括：

1．變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法；

2．線性微分方程解的性質及解的結構定理；

3．二階常系數齊次、非齊次線性微分方程的求解方法；

4．一階常系數線性差分方程通解與特解的求解方法；

5．微分方程的簡單應用。

高等代數部分

（一）行列式

了解行列式的概念，掌握行列式的性質，會應用行列式的性質和按行（列）展開定理

計算行列式。

（二）矩陣

理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣及反對

稱矩陣等的定義及性質，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、冪、乘積的行列式及其運算

性質，掌握逆矩陣的概念、性質、矩陣可逆的充分必要條件及求逆矩陣的方法；理解伴隨

矩陣的概念，理解矩陣等價及矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣秩的方法；了解分塊

矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則。

具體考核主要包括：

1．矩陣的線性運算、乘法、轉置、冪、乘積的行列式及其運算規律；

2．逆矩陣概念、性質，矩陣可逆的充分必要條件及求逆矩陣的方法、矩陣方程解法；

3．矩陣的秩的概念及求秩的方法；

4. 分塊矩陣的運算法則。

（三）向量

在理解向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關與線性無關、向量組的極大線

性無關組及向量組等價概念的基礎上，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別

法，會求向量組的極大線性無關組及秩，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關

系；了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法；掌握

正交矩陣的概念及性質，在理解向量空間概念的基礎上，會求向量空間的基、維數與向量

在給定基下的坐標、基之間的過渡矩陣。

具體考核主要包括：

1．向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法；

2．向量組的極大線性無關組、秩的求法及將剩余向量由所求極大無關組線性表示的

方法；

3．線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法；

4．向量空間的基、維數與向量在給定基下的坐標、基之間的過渡矩陣。

（四）線性方程組

理解線性方程組的克拉默（Cramer）法則的應用條件，理解線性方程組解的結構及通

解的概念，掌握求解線性方程組的高斯消元法（用初等行變換求解線性方程組的方法）及

解的判定定理，理解基礎解系的概念并掌握基礎解系的求法。

具體考核主要包括：

1. 克拉默法則求解線性方程組；

2. 齊次線性方程組有非零解的判定、基礎解系和通解的求法；

3. 非齊次線性方程組有解和無解的判定、解的結構及通解的求法。

（五）矩陣對角化

在理解矩陣的特征值、特征向量的概念基礎上，掌握矩陣特征值的性質、求矩陣特征

值和特征向量的方法；理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質及矩陣可相似對角化的

充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法；掌握實對稱矩陣的特征值和特征向

量的性質及其對角化的方法。

具體考核主要包括：

1.矩陣的特征值與特征向量的概念、性質及其求法；

2.矩陣相似的概念，相似矩陣的性質、矩陣可相似對角化的充分必要條件及將矩陣化

為相似對角矩陣的方法；

3.實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質及其對角化的方法。

（六）二次型

了解二次型及其矩陣表示，了解合同變換與合同矩陣、二次型的秩、二次型的標準形

和規范形等概念，知道慣性定理，掌握化二次型為標準型的方法；理解正定二次型、正定

矩陣的概念，掌握其判別方法。

具體考核主要包括：

1.二次型的矩陣表示，合同變換與合同矩陣的概念、慣性定理；

2.用正交變換和配方法化二次型為標準形的方法；

3.正定二次型（正定矩陣）的判別方法。

四、考試題型及比例

題型

內容

單項選擇題計算與分析題應用與證明

數學分析 30分 45分 15分

高等代數 20分 30分 10分

合計 50分 75分 25分

五、參考書目

1.羅蘊玲等編著.高等數學及其應用（第二版）.高等教育出版社，2016

2.李乃華等編著.線性代數及其應用（第二版）.高等教育出版社,2016

3.華東師范大學數學系編.數學分析（第四版上冊）.高等教育出版社,2012

4.北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.高等代數（第三版）.高等教育出

版社,2003

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