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                                              2021年碩士研究生入學初試自命題科目考試大綱

命題學院（蓋章）：數學與統計學院     考試科目名稱：《分析與代數》

一、考試基本要求 考試方法為筆試，考試時間為3個小時。考察學生對《數學分析》和《高等代數》的基本理論、基本方法和基本技能的掌握程度；考察學生抽象思維、邏輯推理和分析、解決問題的能力。 二、考試內容和考試要求     （一）數列極限、函數極限的定義及性質；、方法的證明；數列極限、函數極限的各種計算方法 （二）連續性的定義及性質；連續性、一致連續性的證明及其應用 （三）微分和導數的概念及導數的幾何意義；微分中值定理、Taylor公式、不等式的證明及導數在研究函數中的應用 （四）不定積和定積分的定義；積分中值定理、牛頓－萊布尼茲公式、定積分的計算、證明、應用及積分等式或不等式證明，廣義積分的計算。 （五）數項級數收斂、發散和函數項級數一致收斂的判別法；冪級數的收斂半徑、收斂域、級數和的求法及函數的Taylor展開 （六）平面點集；二元函數極限、連續的定義及計算；多元函數偏導數及全微分的定義、計算及有關的證明 （七）二重積分、三重積分的計算；兩類曲線積分、兩類曲面積分的計算；格林公式、高斯公式的應用 （八） 整除理論：包括整除性、帶余除法、最大公因式、互素的概念與性質；因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解定理、重因式、實系數與復系數多項的因式分解，有理系數多項式不可約的判定；根的理論：包括多項式函數、多項式的根、有理系數多項式的有理根求法 （九）行列式的定義、性質；行列式的按行（列）展開定理；行列式的計算方法；克萊姆法則 （十）線性方程組的解法——消元法；數域P上n維向量空間Pn及向量的線性相關性；線性方程組有解的判別定理；線性方程組解的結構及齊次線性方程組的解空間的討論 （十一）矩陣的運算；初等變換與初等矩陣；可逆矩陣；分塊矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價（即相抵）、合同、相似；矩陣的可對角化問題 （十二）線性空間的概念；基、維數與坐標；基變換與坐標變換；子空間、子空間的交與和、維數公式、子空間的直和；線性空間的同構 （十三） 線性映射與線性變換的概念、運算；線性變換的矩陣表示；線性變換（矩陣）的特征多項式、特征值與特征向量；線性變換的值域與核；不變子空間 （十四）二次型及其標準型，正定二次型。歐幾里得空間概念，正交基、正交變換、實對稱陣的標準型。  三、考試基本題型和分值 分析學部分90分，其中選擇題12分，填空題18分，計算題50分，證明題10分； 代數學部分60分，其中計算題50分，證明題10分。 四、參考書目 華東師范大學數學系編，數學分析(上、下冊)（第四版），高等教育出版社，2010年。 北京大學數學系幾何與代數教研究前代數小組編，王萼芳、石生明修訂《高等代數》（第五版），2019，高等教育出版社。

                                

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