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專業課《高等代數》考研大綱和參考書目

參考教材及參考書：北京大學數學系前代數小組編，2013：《高等代數》（第四版），高等教育出版社。

課程內容（打＊部分內容或章節要求重點掌握）

多項式：

    ＊整除概念，帶余除法理論；

最大公因式定義及求法；

＊多項式互素的概念與性質；

＊因式分解定理和不可約多項式的性質；

＊復系數與實系數多項式的因式分解；

       行列式：

＊行列式的定義；

＊行列式性質及按行按列展開法則，并用此計算行列式；

Laplace定理；

＊克拉默法則；

       ＊線性方程組：

            消元法；

            向量組的線性相關與線性無關性，向量組的極大無關組與秩；

            矩陣的秩及求法；

            線性方程組有解判別定理；

            線性方程組基礎解系、通解及解的結構；

       ＊矩陣：

            矩陣線性運算，乘法，轉置及運算律；

矩陣初等變換，初等矩陣；

逆矩陣及其存在條件，求逆矩陣；

分塊矩陣運算；

        二次型：

＊二次型的矩陣表示；

矩陣合同

            ＊可逆線性變換化二次型為標準形；

              慣性定理；

            ＊正定二次型判定；

        線性空間

               線性空間的定義與性質；

             ＊有限維線性空間的基與維數，向量坐標；

             ＊基變換與坐標變換；

＊子空間定義，維數與基、維數公式；

＊子空間的交與和，直和；

線性空間的同構；

        ＊線性變換

             線性變換的運算，線性變換的矩陣

             特征值與特征向量；

             可對角化問題；

             線性變換的值域與核；

             不變子空間；

             若爾當標準形的概念；

             最小多項式；

       -矩陣

              -矩陣等價標準形；

             ＊不變因子、行列式因子、初等因子的概念及其關系；

             ＊矩陣相似的條件；

               若爾當標準形理論及求法；

        歐氏空間

               內積與歐氏空間定義，度量矩陣；

               施密特正交化方法求標準正交基；

             ＊正交變換，對稱變換；

             ＊對稱矩陣的標準形及用正交線性替換化二次型為標準形；

               酉空間介紹。

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