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碩士研究生入學考試大綱考試科目名稱: 泛函分析一、援引教材          

《泛函分析》第二版 高等教育出版社 江澤堅 孫善利編

二、考試要求

要求考生全面系統地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能靈活運用，具備較強的分析問題與解決問題的能力。

三、考試內容

（一）距離線性空間

1． 距離線性空間的定義，常見的距離線性空間的距離定義及其性質。

2． 距離空間中的拓撲涵義，可分空間。

3． Cauchy序列的性質，距離空間的完備性。

4． 列緊集，完全有界集的定義及它們之間的關系。

5． 賦范線性空間定義；范數與距離的關系；有限維賦范線性空間的結構。

6． 賦范線性空間上的線性算子及有界線性算子的定義、性質與計算方法。

7． 常見空間以及等空間中距離與范數之間的定義及關系。掌握這些空間的可分性，完備性及拓撲性質。

8． 壓縮映射定義，掌握壓縮映象原理，并能熟練的應用定理解決問題。了解壓縮映象原理在理論上的典型應用。

（二）Hilbert空間

1． 內積空間的定義，性質；內積與范數、距離之間的關系。

2． 賦范線性空間成為內積空間的條件，常見賦范線性空間是否成為內積空間的判別。

3． 掌握內積空間的定義及其性質。

4． Hilbert空間的定義；Hilbert空間上的正規正交基，正規正交分解；

5． 掌握并熟練運用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。

6． 掌握可分Hilbert空間的結構。

7． 掌握射影定理，理解其涵義，并能加以應用；掌握表現定理，Hilbert空間上的線性泛函的表示。

8． Hilbert共軛算子的定義、性質及其表示；可分Hilbert空間上有界線性算子的矩陣表達式。

（三）Banach空間及Banach空間上的有界線性算子

1. Banach空間上的有界線性算子定義；算子范數的計算；范數的比較。

2. 有界線性算子空間的性質。

3. 算子的逆，逆算子存在、連續的條件；利用逆算子解決一些積分方程等方面的實際問題。

4. Hahn-Banach定理；擴張定理的幾種表現形式，如Banach擴張定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。

5. Hahn-Banach定理的一些推論，體現的不同側面的Hahn-Banach定理的具體表現形式；Hahn-Banach定理的幾何形式。Hahn-Banach定理在理論及實際上的應用。

6. 分離定理，及其與Hahn-Banach定理之間的關系。

7. Baire綱定理；第一綱集、第二綱集的定義與分類。

8. 一致有界原理（共鳴定理）；開映射定理；Banach逆算子定理；閉圖形定理以及它們的應用。

9. 對偶空間的定義，幾個具體空間上的對偶空間及它們的連續泛函形式，如

等。

10. 二次對偶、典型映射、自反空間的定義；有限維賦范線性空間、、Hilbert空間的自反性質。了解常見的不是自反空間的例子。

11. Banach共軛算子的定義、性質及其矩陣表示。

12. 算子的值域、零空間、商空間的定義與它們之間的關系。

（四）有界線性算子譜論

1. 有界線性算子的預解式與譜的定義及其計算。

2. 掌握譜半徑公式，應用公式解決問題。

3. 射影算子的定義；有界線性算子的不變子空間與約化子空間；F.Riesz空間分解定理。

4. 緊算子的定義及其性質；緊算子的實例；緊算子與理想的關系。

5. Riesz-Schauder理論：F.Riesz定理；兩擇一定理；Fredholm交替定理等定理內容與應用。

6. 有界自伴算子的基本性質；緊自伴算子的定義與性質；酉算子的定義與性質。

7. 有界自伴算子的譜測度，譜分解定理與函數演算。

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