|
|
|
|
友情提示：本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學考試歷年考研真題、考博真題、答案，部分學校更新至2012年，2013年；均提供收費下載。 下載流程： 考研真題 點擊“考研試卷””下載; 考博真題 點擊“考博試卷庫” 下載
2021年全國碩士研究生招生
科目代碼：625
科目名稱：高等代數一
適用專業：基礎數學、計算數學、應用數學、
運籌學與控制論
制訂單位：沈陽師范大學
修訂日期：2020年9月
《高等代數一》考試大綱
一、課程簡介
高等代數是數學專業的基礎課之一。主要內容包括：多項式理論；線性方程組；行列式；矩陣；二次型；線性變換；歐氏空間等。本課程不僅注重講授代數學的基本知識，更強調對于學生的代數學基本思想和基本方法的訓練、線性代數基本計算的訓練以及綜合運用分析、幾何、代數方法處理問題的初步訓練。既有較強的抽象性和概括性，又具有廣泛的應用性。對于培養學生的邏輯推理能力、抽象思維能力和運算能力有著重要作用。
二、考查目標
主要考察考生對高等代數的基本理論和基本方法的理解和掌握情況及抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。
三、考試內容及要求
第一章 多項式
一、考核知識點
1、熟練掌握一元多項式整除的概念及性質。
2、熟練掌握最大公因式的求法、性質及多項式互素的充要條件。
3、熟悉因式分解定理的內容，了解標準分解式的概念。
4、熟悉重因式的概念，熟練掌握k重因式的判定方法。
5、熟悉有關多項式函數的概念、余數定理。
6、熟練掌握代數基本定理，復系數多項式、實系數多項式因式分解定理的內容。
7、掌握本原多項式的概念。熟練掌握有理系數多項式與整系數多項式因式分解的關系。熟練掌握整系數多項式有理根的性質和求法。熟練掌握Eisenstein判別法及應用。
二、考核要求
識記：數域的概念，一元多項式的概念和運算性質，次數定理, 整除的概念和常用性質，帶余除法，最大公因式的概念和性質，不可約多項式的概念和性質，因式分解及唯一性定理，標準分解式的概念，重因式的概念、性質，多項式函數的概念、性質及根，代數基本定理，復系數與實系數多項式的因式分解定理，本原多項式的概念、性質，Eisenstein判別法。
簡單應用：
1、會求解或證明最大公因式。
2、會求有理系數多項式的有理根。
第二章 行列式
一、考核知識點
1、掌握排列、逆序數、奇排列、偶排列的概念，熟悉對換的概念和性質。
2、深刻理解n級行列式的概念。會用定義確定行列式各項的符號及簡單行列式的值。
3、熟練掌握行列式的性質，并利用行列式性質計算行列式。
4、熟練掌握將行列式化成三角形行列式計算其值的方法。
5、掌握子式、余子式的概念。熟練掌握行列式按行（列）展開的方法，并用其計算行列式時使用。掌握范德蒙行列式。
6、熟練應用克蘭姆法則。
二、考核要求
識記：n級排列的概念、逆序數，奇排列、偶排列的概念，n級行列式的概念、性質，矩陣的概念及其初等變換，行列式按一行（列）展開定理，代數余子式，范德蒙行列式，克蘭姆（Cramer）法則。
簡單應用：
1、理解和掌握行列式性質，并利用其計算行列式。
2、熟練掌握將行列式化成三角形行列式計算其值的方法。
3、熟練掌握行列式按行（列）展開的方法。
第三章 線性方程組
一、考核知識點
1、熟悉初等變換、同解方程組、階梯形方程組、一般解、自由未知量、系數矩陣、增廣矩陣的概念。并能熟練地用消去法求解線性方程組。
2、熟練掌握有關向量及向量空間的概念和向量運算。
3、深刻理解線性組合、向量組等價、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組的秩的概念。熟練掌握極大線性無關組的性質求法。
4、熟練掌握矩陣行秩列秩的概念和關系，矩陣的秩與行列式、子式的關系。
5、熟練掌握線性方程組是否有解的判別定理的內容。
6、掌握線性方程組解的性質，熟練掌握基礎解系的概念，基礎解系所含向量的個數與方程組系數矩陣秩的關系，會求齊次線性方程組的基礎解系、并用基礎解系表出其全部解，會求非齊次線性方程組的用導出組的基礎解系表出的全部解。
二、考核要求
識記：n維向量空間的概念和運算性質，線性相（無）關性的概念和性質，矩陣的k級子式，矩陣的秩的概念、性質，初等變換、同解方程組、階梯形方程組、一般解、自由未知量、系數矩陣、增廣矩陣、基礎解系的概念，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構定理。
簡單應用：
1、熟練掌握求解線性方程組的方法。
2、熟練掌握極大線性無關組的性質、求法。
3、掌握矩陣行秩與列秩的證明。
第四章 矩陣
一、考核知識點
1、掌握矩陣的概念，熟練掌握矩陣的加法、數乘運算、轉置、矩陣乘法運算及其性質。
2、掌握矩陣退化和非退化的概念。熟練掌握矩陣乘積的行列式，因子的秩與積的秩的關系。
3、掌握逆矩陣、伴隨矩陣的概念。熟練掌握伴隨矩陣與逆矩陣間的關系和逆矩陣的性質。
4、深刻理解矩陣分塊的意義，熟練掌握分塊矩陣的運算性質和方法。
5、深刻理解初等矩陣的概念和意義。
6、深刻理解分塊乘法的初等變換的意義。熟練掌握并會應用。
二、考核要求
識記：矩陣的概念與運算，矩陣乘積的行列式與秩，伴隨矩陣，矩陣的逆的概念、性質，矩陣退化和非退化的概念，矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運算，初等矩陣及與矩陣的初等變換的關系，分塊乘法的初等變換。
簡單應用：
1、熟練掌握矩陣的加法、數乘矩陣、轉置、矩陣乘法運算及其性質。
2、熟練掌握伴隨矩陣與逆矩陣間的關系和逆矩陣的性質，會求逆矩陣。
3、熟練掌握并應用分塊乘法的初等變換。
第五章 二次型
一、考核知識點
1、掌握線性替換、線性替換的退化、非退化，二次型及其矩陣、矩陣合同的概念。
2、掌握二次型標準形的概念。熟練的掌握用配方法和合同變換法化二次型為標準形。
3、深刻理解規范形的概念。掌握正、負慣性指數，符號差的概念。熟練掌握將復二次型和實二次型化成規范形的方法。
4、掌握正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型和不定二次型的概念。熟練掌握正定二次型判定法。
二、考核要求
識記：掌握線性替換、線性替換的退化、非退化，二次型及其矩陣、二次型標準形、矩陣合同的概念，實二次型的規范形、正負慣性指數，符號差的概念，復二次型的規范形，正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型和不定二次型的概念。
簡單應用
1、熟練的掌握配方法和合同變換法化二次型為標準形。
2、熟練掌握將復二次型和實二次型化成規范形的方法。
3、熟練掌握正定二次型判定法。
第六章 線性空間
一、考核知識點
1、掌握集合、映射1-1對應及其與之相關的概念。掌握集合運算、映射運算的符號和性質。
2、深刻理解線性空間的定義，熟記線性空間的簡單性質。
3、深刻理解線性空間中向量的線性組合、線性表示、向量組的等價，線性相關、線性無關、維數、基與坐標的概念。掌握向量組構成基的條件。
4、掌握基變換與坐標變換的概念。熟練掌握基變換與坐標變換運算。
5、熟悉子空間、生成向量組的概念。深刻理解生成組等價與生成子空間的關系，子空間的基與整個空間的基的關系。
6、掌握解子空間的交與和的概念，掌握維數定理。
7、掌握直和的概念，深刻理解直和的充要條件。
二、考核要求
識記：線性空間的定義與簡單性質，維數、基與坐標的概念和性質，基變換與坐標變換，線性子空間的概念和性質，子空間的交與和的概念及性質，子空間的直和的定義及判別準則，線性空間的同構，同構映射的概念和性質。
簡單應用：
1、掌握向量組構成基的條件，會求有限維線性空間的基和維數。
2、熟練掌握基變換與坐標變換運算。
3、熟練掌握直和的證明方法。
第七章 線性變換
一、考核知識點
1、掌握線性變換的概念；熟練掌握線性變換的運算及其性質。
2、掌握線性變換與其矩陣的關系，熟練掌握線性變換及其運算的矩陣表示。同一個線性變換在不同基下矩陣之間的關系。
3、掌握線性變換與矩陣的特征多項式、特征值、特征向量的概念，熟練掌握特征值、特征向量的求法。掌握相似矩陣特征多項式的關系。一般了解哈密爾頓-凱萊定理的條件和結論。
4、深刻理解特征向量的性質和線性變換在某組基下為對角矩陣的充要條件。
5、掌握線性變換的值域與核的概念，以及他們維數間的關系。
6、掌握不變子空間的概念，深刻理解線性變換的矩陣的化簡與不變子空間之間的關系。
二、考核要求
識記：線性變換的定義、運算及其簡單性質，線性變換的矩陣及其性質，矩陣的相似關系的定義及其性質，特征多項式、特征值與特征向量的定義、性質，線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的條件（即矩陣相似于對角矩陣的條件），線性變換的值域與核的概念及性質，不變子空間的概念，若當（Jordan）標準形的概念。
簡單應用
1、掌握同一個線性變換在不同基下矩陣之間的關系，會求線性變換在給定基下的矩陣。
2、熟練掌握線性變換與矩陣的特征值、特征向量的求法。
3、熟練掌握特征向量的性質，以及線性變換的矩陣在某組基下為對角陣的充要條件。
4、會求線性變換的值域與核，會求線性變換的不變子空間。
第八章 歐氏空間
一、考核知識點
1、掌握歐氏空間，向量的長度，夾角，垂直，線性變換的度量矩陣的概念和度量矩陣的性質。
2、掌握標準正交基、正交矩陣的概念。深刻理解標準正交基的性質。熟練掌握施密特正交化方法。
3、深刻理解同構的概念和意義。熟練掌握同構的充要條件。
4、掌握正交變換、第一類、第二類正交變換的概念。熟練掌握正交變換的等價命題。
5、掌握正交子空間、正交補的概念。熟練掌握正交子空間的性質。
6、深刻理解實對稱矩陣與正交矩陣的關系。能熟練地運用正交線性替換將一個實二次型化為標準形。
二、考核要求
識記：歐幾里得空間（含內積）的定義與基本性質，向量的長度、夾角、垂直的概念，歐幾里得空間中基的度量矩陣，正交向量組、正交基、標準正交基的定義、基本性質，正交變換、正交矩陣的定義和性質，正交子空間、正交補的概念，對稱變換、實對稱矩陣的性質。
簡單應用
1、熟練掌握施密特正交化方法。
2、會利用基的度量矩陣求向量的長度、夾角。
3、掌握正交變換的證明。
4、會用正交線性替換將一個實二次型化為標準型。
* 關于能力層次的說明：
識記：要求學生能知道本章節中有關的概念、定理的含義，并能正確認識和表述。
領會：要求在識記的基礎上，能全面把握本章中的基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有關概念、定理、方法的區別與聯系。
簡單應用：要求在領會的基礎上，能運用本章中的基本概念、基本規律中的少量知識點分析和解決有關的理論問題和實際問題。
綜合應用：要求在簡單應用的基礎上，能運用本章中或者其它章節中學過的多個知識點，綜合分析和解決比較復雜的問題。
四、考試形式和試卷結構
1、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
2、答題方式
答題方式為閉卷，筆試。
3、試卷內容結構
基本概念30分；計算和證明120分。
4、試卷題型結構
題型包括計算題、證明題、解答題三種題型。
五、參考書目
《高等代數》第四版，北京大學數學系前代數小組 編，王萼芳，石生明 修訂，高等教育出版社，2013年。
免責聲明：本文系轉載自網絡，如有侵犯，請聯系我們立即刪除，另：本文僅代表作者個人觀點，與本網站無關。其原創性以及文中陳述文字和內容未經本站證實，對本文以及其中全部或者部分內容、文字的真實性、完整性、及時性本站不作任何保證或承諾，請讀者僅作參考，并請自行核實相關內容。
|
|
|
上一篇文章： 2021年沈陽師范大學碩士研究生高等代數二考試大綱
下一篇文章： 2021年沈陽師范大學碩士研究生體育學專業基礎綜合考試大綱
|
|
|
|
|
|
文章搜索
您現在的位置： 
