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2021年全國碩士研究生招生考試大綱

科目代碼：626

科目名稱：高等代數二

適用專業：統計學

制訂單位：沈陽師范大學

修訂日期：2020年9月

《高等代數二》考試大綱

一、課程簡介

《高等代數》起源于古老的解方程與方程組理論和近代幾何與物理上的向量與各種變換的研究，大約形成于十七世紀葉，以當時日本數學家關孝和提出的行列式(determinant)概念和克萊姆(Cramer)《線性代數分析導言》為標志；隨著計算機的飛速發展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決，作為處理離散問題的線性代數，已成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎。該課程主要講授“行列式”、“矩陣”、“向量空間”、“線性變換”和“二次型”；是基礎數學、應用數學、計算數學、統計、金融、經濟等學科的一門主干基礎課和必修課，是數學各專業的經典的三大基礎課程之一，一般歷時二學期；通過本課程的學習，能使學生掌握該課程的基本理論、思想和方法，為一些后續課程的學習及在各個學科領域中進行理論研究和實踐工作提供必要的保證，同時對于培養學生的邏輯推理能力、抽象思維能力和運算能力有著重要的作用。

二、考查目標

考查學生對《高等代數》理論基礎知識掌握的情況及分析解決某些實際問題的能力。通過考試，選拔出具有較好數學功底的學生來攻讀我校統計學專業的碩士研究生，以使錄取的研究生具有進一步學習統計學專業知識及從事有關統計科研工作所需的較扎實與系統的《高等代數》知識。

三、考試內容及要求

第二章行列式

（一）考核知識點

1、排列的概念及基本性質：偶排列、奇排列、反序數

2、n階行列式

3、n階行列式的性質

4、行列式計算：矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換、階梯形矩陣

5、按行列展開，子式和代數余子式

6、克拉默規則

二、考核要求

1、深刻理解各項內容，熟練掌握行列式計算與展開和克拉默規則。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法進行相關計算與解決相關實際問題。

第三章 線性方程組

（一）考核知識點

1、消元法：高斯消元法，同解變形，線性方程組的增廣矩陣

2、維向量空間：向量空間，行向量，列向量

3、線性相關：線性組合，線性表出，線性相關、線性無關、極大線性無關組

4、矩陣的秩：行秩，列秩，矩陣的秩

5、線性方程組有解判別定理

6、線性方程組解的結構：

二、考核要求

1、深刻理解各項內容，熟練掌握線性方程組的解法。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解線性方程組與研究解的結構。

第四章 矩陣

（一）考核知識點

1、矩陣的概念

2、矩陣運算

3、矩陣的行列式與秩

4、矩陣的逆：可逆矩陣，逆矩陣，伴隨矩陣

5、矩陣的分塊

6、初等矩陣

7、分塊乘法的初等變換及應用

二、考核要求

1、深刻理解各項內容，熟練掌握矩陣運算與逆矩陣的求法。

2、能夠綜合應用所學內容解相關實際問題。

第五章 二次型

（一）考核知識點

1、二次型及其矩陣表示：二次型，非退化線性替換，二次型的矩陣，合同關系

2、標準型

3、唯一性：規范型，慣性定理

4、正定二次型：正定，負定，半正定，半負定，順序主子式

二、考核要求

1、識記各項內容，熟練掌握合同變換。

2、能夠綜合應用所學內容解相關實際問題。

第六章 線性空間

（一）考核知識點

1、集合與映射

2、線性空間的定義與簡單性質：加法，數量乘法，向量，線性空間

3、維數、基與坐標：有限維，無限維，基，坐標

4、基變換與坐標變換

5、線性子空間：子空間，零子空間，平凡子空間，非平凡子空間，生成子空間，線性方程組的解空間

6、子空間的交與和

7、子空間的直和

8、線性空間的同構

二、考核要求

1、深刻理解各項內容，熟練掌握基變換與坐標變換。

2、能夠綜合應用所學內容解相關實際問題。

第七章 線性變換

（一）考核知識點

1、線性變換的定義

2、線性變換的運算

3、線性變換的矩陣與相似矩陣

4、特征值與特征向量

5、對角矩陣

6、線性變換的值域與核

7、不變子空間

8、若爾當標準形介紹

二、考核要求

1、深刻理解各項內容，熟練掌握線性變換的運算，矩陣與相似變換。

2、能夠綜合應用所學內容解相關實際問題。

四、考試形式和試卷結構

1、試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘

2、答題方式

答題方式為閉卷，筆試。

3、試卷內容結構

行列式  約15 %

線性方程組  約20 %

矩陣  約30 %

二次型 約10 %

線性空間與線性變換約25 %

4、試卷題型結構

單選題 5小題， 每小題2分， 共10分

填空題 10小題，每小題2分，共20分

計算題 9小題， 每小題10分， 共90分

證明題 3小題， 每小題10分， 共30分

五、參考書目

《高等代數》第四版，北京大學數學系前代數小組 編，王萼芳，石生明 修訂，高等教育出版社，2013年。

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