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 2021年全國碩士研究生招生考試大綱

科目代碼：850

科目名稱：數學分析一

適用專業：基礎數學、計算數學、應用數學、

運籌學與控制論

制訂單位：沈陽師范大學

修訂日期：2020年9月

《數學分析一》考試大綱

一、課程簡介

    數學分析是數學專業的基礎課之一。主要內容包括：實數理論；極限理論；一元函數和多元函數的微分學理論；級數理論和積分理論。主要培養學生嚴格的邏輯思維能力與推理論證能力；熟練的運算能力與運算技巧；提高建立數學模型、并應用微積分這一工具解決實際應用問題的能力。

二、考查目標

主要考察考生對數學分析的基本理論和基本方法的理解和掌握情況及抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。

三、考試內容及要求

第一章 實數集與函數 

一、考核知識點

  1、實數的概念；實數的性質；絕對值不等式。
　2、函數：函數的概念；函數的定義域和值域；復合函數；反函數。
　3、函數的幾何特性：單調性；奇偶性；周期性。

二、考核要求

識記：函數的概念和表示方法。

簡單應用：會求解或證明簡單絕對值不等式；會求函數的定義域和值域。

第二章 數列極限 

一、考核知識點

1、數列極限的概念（定義）。
2、數列極限的性質：唯一性、有界性、保號性。
3、數列極限存在的條件：單調有界原理、兩邊夾法則。

二、考核要求

識記：有界數列與無窮大數列。

簡單應用：

1、理解和掌握數列極限的概念。

2、會使用語言證明數列的極限。

3、掌握數列極限的基本性質、運算法則以及數列極限的存在條件(單調有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數列極限。
第三章 函數極限 

一、 考核知識點

  1、極限的概念（定義、定義）；單側極限的概念。
  2、函數極限的性質：唯一性；局部有界性；局部保號性。
  3、函數極限存在的條件：歸結原則，單調有界定理。
  4、兩個重要極限。

二、考核要求

識記：單側極限的概念以及求法。無窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則，無窮小量與無窮大量的比較。

簡單應用：

1、理解和掌握函數極限的概念，會使用語言以及語言證明函數的極限。

2、掌握函數極限的基本性質、運算法則，會使用歸結原理證明函數極限不存在。

3、掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限。

第四章 連續函數

一、考核知識點

　1、函數連續的概念：一點連續的定義；在區間上連續的定義；單側連續的定義；間斷點的分類。
　2、連續函數的性質：局部性質及運算；閉區間上連續函數的性質（最值性、有界性、介值性、一致連續性）；復合函數的連續性；反函數的連續性。
　3、初等函數的連續性。

二、考核要求

識記：反函數、復合函數以及初等函數的連續性；函數間斷點的分類。

簡單應用：

1、理解與掌握函數連續性、一致連續性的定義以及它們的區別和聯系。

2、會證明具體函數的連續以及一致連續性。

綜合應用：
　閉區間上連續函數的性質及應用。
第五章 導數與微分 

一、考核知識點

1、導數概念：導數的定義；單側導數；導數的幾何意義。
2、求導法則：初等函數的求導；反函數的求導；復合函數的求導；隱函數的求導；參數方程的求導；導數的運算(四則運算)。
3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應用。
4、高階導數。

二、考核要求

識記：函數左、右導數的概念以及分段函數求導方法，導函數的介值定理。 

簡單應用：

1、能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的（高階）導數和微分。

2、理解和掌握可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系。 

第六章 微分中值定理及應用

一、考核知識點

　1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。
　2、函數的單調性與極值。

3、泰勒公式。
　4、函數凹凸性與拐點?！　?

5、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達法則。

二、考核要求

識記：泰勒公式及在近似計算中的應用；某些函數的泰勒公式；函數作圖。

簡單應用：理解和掌握中值定理的內容、證明及其在證明等式和不等式中的應用。

綜合應用：

1、理解和掌握函數的單調性和凹凸性，會使用這些性質求函數的極值點以及拐點。

2、能根據函數的單調性、凹凸性、拐點、漸近線等。

3、能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。

第七章 實數的完備性

一、考核知識點

　1、實數系六大基本定理：確界原理；單調有界定理；閉區間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。
　2、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續性定理的證明。

二、考核要求

識記：了解6個實數完備性定理。

簡單應用：

1、理解和掌握閉區間上連續函數性質及其證明。

2、會使用開覆蓋、聚點定理和閉區間套定理證明簡單問題。
第八章 不定積分

一、考核知識點

1、不定積分概念。
　2、換元積分法與分部積分法。
　3、有理函數和可化為有理函數的函數的積分。

二、考核要求

識記：原函數和不定積分概念以及它們的關系。

簡單應用：熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數、有理函數、三角函數的不定積分。
第九章 定積分

一、考核知識點

1、定積分的概念；定積分的幾何意義。
　2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達布上和與達布下和；可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)。
　3、定積分的性質：四則運算；絕對值性質；區間可加性；不等式性質；積分中值定理。

4、定積分的計算：變上限積分函數；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。

二、考核要求

識記：定積分概念、可積的條件以及可積函數類。

簡單應用：熟練掌握和運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。
第十章 定積分的應用 

一、 考核知識點

　1、定積分的幾何應用：求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉體的體積；求旋轉曲面的面積。
　2、定積分的物理應用：求質心；求功；求液體壓力。

二、考核要求

識記：定積分的物理應用：求質心；求功；求液體壓力

簡單應用：求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉體的體積；求旋轉曲面的面積。
第十一章 反常積分

一、考核知識點

1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。
　2、無界函數的反常積分：無界函數的反常積分的概念；無界函數的反常積分的斂散性判別法。

二、考核要求

識記：反常積分的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂的概念。

簡單應用：

1、掌握反常積分的柯西收斂準則。

2、會判斷某些反常積分的斂散性。

3、會用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法證明反常積分的收斂性。

第十二章 數項級數

一、考核知識點

1、無窮級數收斂、發散的概念；收斂級數的基本性質；柯西收斂原理。
　2、正項級數：比較判別法；達朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。
　3、任意項級數：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質；交錯級數與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

二、考核要求

識記：絕對收斂和條件收斂的概念和性質。

綜合應用：

1、理解和掌握正項級數的收斂判別法以及交錯級數的萊布尼茲判別法。

2、掌握一般項級數的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

第十三章 函數項級數

一、考核知識點

　1、一致收斂的概念?！　?

2、一致收斂的性質：連續性定理；可積性定理；可導性定理。 

3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

二、考核要求

識記：函數項級數和函數列一致收斂的概念、性質。

綜合應用：
　1、理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明。

2、能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數項級數的一致收斂性。

3、會證明極限函數及函數項級數的和函數的連續性、可積性及可微性。
第十四章 冪級數 

一、考核知識點

1、冪級數的概念以及冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域及和函數。
2、冪級數的性質。

3、函數展開成冪級數。

二、考核要求

識記：冪級數的概念。

簡單應用：會求冪級數的和函數以及它的收斂半徑、收斂區間、收斂域和和函數。

綜合應用：掌握冪級數的性質以及兩種將函數展開成冪級數的方法，會把一些函數直接或者間接展開成冪級數。 

第十五章 傅里葉級數

一、考核知識點

1、傅里葉級數：三角函數系的正交性；傅里葉系數。
2、以為周期的函數的傅里葉級數。

3、以2L為周期的傅里葉級數。
　4、收斂定理的證明。

二、考核要求

識記：三角函數系的正交性與傅里葉級數的概念，收斂定理的證明。

簡單應用：會求以為周期的函數的傅里葉級數。

第十六章 多元函數極限與連續

一、考核知識點

1、平面點集與多元函數的概念。
　2、二元函數的二重極限、二次極限。
　3、二元函數的連續性。

二、考核要求

識記：二元函數的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關系。平面點集的幾個基本定理以及閉區域上多元連續函數的性質。 

簡單應用：會計算一些簡單的二元函數的二重極限和二次極限。

第十七章 多元函數的微分學

一、考核知識點

　1、偏導數與全微分：偏導數與全微分的概念；可微與可偏導、可微與連續、可偏導與連續的關系。
　2、復合函數求偏導數以及隱函數求偏導數。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。
　4、方向導數與梯度。
　5、多元函數的泰勒公式。

6、極值和條件極值。

二、考核要求

識記：多元函數的泰勒公式，梯度的概念。

簡單應用：理解和掌握偏導數、全微分、方向導數、梯度的概念及其計算。

綜合應用：

1、要求：掌握多元函數可微、可偏導和連續之間的關系；會證明多元函數的可微性。

2、會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

3、會求函數的極值、最值。
第十八章 隱函數存在定理

一、考核知識點：、隱函數：隱函數存在定理；反函數存在定理；雅克比行列式。

二、考核要求

識記：隱函數的概念及隱函數存在定理。

簡單應用：會求隱函數的導數?！?BR>第十九章  含參積分

一、考核知識點

　1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導交換次序；兩個積分號交換次序。
　2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、函數、函數。

二、考核要求

識記：積分號下求導數的方法；函數、函數的性質及其相互關系。

綜合應用：

1、理解和掌握含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

2、證明含參積分所確定函數的連續性、可積性和可微性。
第二十章 重積分 

一、考核知識點

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質。
　2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算二重積分；用一般變換計算二重積分?！　?BR>　3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算三重積分；用球面坐標計算三重積分。
　4、重積分應用：求物體的質心、轉動慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。

二、考核要求

識記：重積分在物理中的應用。了解柱面坐標和球面坐標。

簡單應用：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點。

綜合應用：會選擇最合適的方法進行積分，掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算。

第二十一章 曲線積分

一、考核知識點

1、第一型曲線積分：第一型曲線積分的概念、性質與計算；第一型曲線積分的對稱性。
　2、第二型曲線積分：第二型曲線積分的概念、性質與計算；兩類曲線積分的聯系。

3、格林公式：曲線積分與路徑的無關的四種等價敘述。

二、考核要求

識記：第一型曲線積分和第二型曲線積分的實際意義，兩類曲線積分的聯系。

簡單應用：掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的計算公式，會用公式計算兩類曲線積分。

綜合應用：

1、掌握曲線積分與路徑無關的條件和判斷方法。
　2、理解和掌握格林公式，會用格林公式計算第二型曲線積分。

第二十二章 曲面積分

一、考核知識點

1、第一型曲面積分：第一型曲面積分的概念、性質與計算；第一型曲面積分的對稱性。

2、第二型曲面積分：曲面的側；第二型曲面積分的概念、性質與計算；兩類曲面積分的聯系。
　3、高斯公式。

4、斯托克斯公式。

二、考核要求

識記：兩類曲面積分的概念，梯度、散度和旋度的概念。

簡單應用：理解和掌握兩類曲面積分的概念、性質與計算。

綜合應用：

1、理解和掌握高斯公式和斯托克斯公式，并能利用它們求解曲面積分。

* 關于能力層次的說明：

識記：要求學生能知道本章節中有關的概念、定理的含義，并能正確認識和表述。

領會：要求在識記的基礎上，能全面把握本章中的基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有關概念、定理、方法的區別與聯系。

簡單應用：要求在領會的基礎上，能運用本章中的基本概念、基本規律中的少量知識點分析和解決有關的理論問題和實際問題。

綜合應用：要求在簡單應用的基礎上，能運用本章中或者其它章節中學過的多個知識點，綜合分析和解決比較復雜的問題。

四、考試形式和試卷結構

1、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘

2、答題方式

答題方式為閉卷，筆試。

3、試卷內容結構

基本概念24分；計算和證明126分。

4、試卷題型結構

題型包括選擇題、計算題、證明題、解答題。

五、參考書目

1.《數學分析》第四版， 華東師范大學數學系，高等教育出版社，2010年；

2.《數學分析》第三版， 郭大鈞等，高等教育出版社，2015年。

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