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2021年全國碩士研究生招生考試大綱

科目代碼：851

科目名稱：數學分析二

適用專業：統計學

制訂單位：沈陽師范大學

修訂日期：2020年9月

《數學分析二》考試大綱

一、課程簡介

《數學分析》出于對《微積分》在理論體系上的嚴格化和精確化。《微積分》起源于解決物理，幾何與天文等等方面的重大計算問題，大約形成于十七世紀，完善與二十世紀初；在自然科學、工程技術、生命科學、社會科學、經濟管理等眾多方面中有著十分廣泛的應用。該課程主要講授“分析學基礎理論”，“極限與連續”，“級數”，“一元微積分”和“多元微積分”等內容；是數學與統計專業的核心專業基礎課程，一般歷時三學期； 是學生學習分析學系列課程及數學與統計專業其它后繼課程的重要基礎，《微分方程》、《數理方程》、《復變函數》、《實變函數》、《泛函分析》、《概率論與數理統計》、《隨機過程》、《多元統計》等重要專業課程都是在該課程的基礎上進行講授；學習該課程對學生掌握扎實的數學基礎、提高思維的嚴密性和邏輯性，提高計算能力和空間想象力，能夠采用現代數學的思想觀點與先進方法的處理問題，培養良好的思維品質等具有啟蒙和奠基作用。

二、考查目標

主要考查學生對《數學分析》的基礎知識的掌握情況及分析解決某些實際問題能力；以其基本理論和方法為主，考查學生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考查學生是否具有嚴密的邏輯推理能力，是否能夠應用所學知識解決某些實際問題的能力。使我們能夠選拔出具有較好的數學功底的學生來攻讀我院統計學的碩士研究生，保證錄取的考生具有較扎實與系統的從事進一步學習及科研工作所需的數學分析知識。

三、考試內容及要求

第一章 實數集與函數

（一） 考核知識點

1、集合

2、區間、鄰域、上確界、下確界

3、不等式

4、映射、函數、復合函數、反函數、四則運算、初等函數

5、有界性、奇偶性、單調性和周期性

（二）考核要求

1、識記與領會本章的各項內容

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解決相關實際問題，如用函數表示實際中的常見的量與量的關系。

第二章 數列極限

（一） 考核知識點

1、數列極限的定義與無窮小數列

2、收斂數列的性質

3、數列極限的四則運算

4、單調數列及單調有界定理，Cauchy列及收斂準則

（二）考核要求

1、識記與領會本章的各項內容

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解決相關實際問題，如實際中的常見的數列問題。

第三章 函數極限

（一） 考核知識點

1、各種函數極限的定義，各種單側極限的定義

2、函數極限的性質與運算法則，與數列極限的關系

3、Cauchy收斂原理

4、兩個重要極限

5、無窮小量與無窮大量，二者關系，階的比較

（二）考核要求

1、識記與領會本章的各項內容

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解決相關實際問題，如實際中常見的函數的極限問題。

第四章 函數的連續性

（一） 考核知識點

1、函數連續的概念：在一點的連續性，間斷點分類，區間上連續額函數

2、連續函數的性質：局部性；區間上連續函數的性質；反函數的連續性；一致連續

3、初等函數連續性的

（二）考核要求

1、識記與領會本章的各項內容

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解決相關實際問題，如實際中常見函數的連續性問題。

第五章 導數和微分

（一） 考核知識點

1、導數概念：定義，幾何意義，導函數

2、求導法則：四則運算，反函數的導數，復合函數的導數，基本求導法則與公式

3、微分：概念，運算法則，近似計算，誤差估計

4、高階導數與高階微分

5、參量方程確定函數的導數

（二）考核要求

1、識記與領會本章的各項內容，熟練掌握導數與微分的運算法則與公式。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解決相關實際問題，如實際中的速度問題，函數的變化率問題，能夠應用微分做近似計算。

第六章 微分中值定理及其應用

（一） 考核知識點

1、中值定理：費馬定理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理

2、不定式極限：羅比達法則

3、泰勒公式：泰勒定理，余項，近似計算

4、函數的單調性與極值：單調性，極值，最值

5、函數的凸性與拐點：凸性，拐點

6、函數的圖像：漸近線，特征作圖

（二）考核要求

1、識記本章的各項內容，深刻領會與熟練掌握拉格朗日中值定理和羅比達法則，深刻領會與熟練掌握單調性，極值，最值，凸性，拐點。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法解決相關實際問題，如實際中的速度問題，函數的平均變化率問題，能夠應用泰勒公式做近似計算，會特征作圖。

第七章 實數的完備性

（一） 考核知識點

1、區間套定理

2、柯西準則，聚點定理，有限覆蓋定理

（二）考核要求

1、識記實數域基本定理。

2、能夠簡單應用本章的基本概念、基本原理、基本方法證明有關問題。

第八章 不定積分

（一） 考核知識點

1、基本概念與公式：原函數，不定積分，公式表，運算法則

2、換元積分與分部積分

3、有理函數的積分

（二）考核要求

1、熟練掌握本章的基本概念與公式和換元積分與分部積分法。

2、能夠熟練應用本章的基本概念、基本原理、基本方法進行有關計算。

第九章 定積分

（一） 考核知識點

1、定積分的定義

2、可積條件：必要條件，充分條件，上和下和，可積函數類

3、定積分的性質

4、微積分基本定理

5、定積分的計算方法

6、變限積分與原函數的存在性

（二）考核要求

1、識記本章內容，深刻領會定積分的定義，熟練掌握微積分基本定理和定積分的計算方法，會求非正常積分。

2、能夠熟練應用本章的基本概念、基本原理、基本方法進行有關計算。

第十章 定積分應用

（一） 考核知識點

1、求平面圖形的面積

2、由截面面積求體積

3、求曲線的弧長

4、求旋轉曲面的面積

5、在物理上的應用

（二）考核要求

1、深刻領會微元法，熟練掌握面積與體積的球閥，學會在物理上的重要應用。

2、能夠熟練應用本章的基本概念、基本原理、基本方法進行有關計算。

第十一章 反常積分

（一） 考核知識點

1、反常積分概念

2、無窮積分：定義，性質，判別

3、瑕積分：定義，性質，判別

1、領會反常積分定義，掌握性質與判別。

2、能夠綜合應用所學內容求反常積分。

第十二章 數項級數

（一） 考核知識點

1、收斂性：級數，收斂，發散，運算，柯西準則

2、正項級數：一般判別法，比式判別法，根式判別法，積分判別法

3、一般項級數：交錯級數，絕對收斂，阿貝爾判別法，狄利克雷判別法

（二）考核要求

1、深刻領會級數的概念與其性質，熟練掌握各種收斂判別法。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法級數收斂與進行有關計算。

第十三章 函數列與函數項級數

（一） 考核知識點

1、一致收斂：函數列及其一致收斂概念，函數項級數及其一致收斂概念，判別，柯西準則，優級數判別法

2、一致收斂函數列與函數項級數的性質

（二）考核要求

1、深刻領會概念與其性質，熟練掌握一致收斂的優級數判別法。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法級數收斂與進行有關計算。

第十四章 冪級數

（一） 考核知識點

1、冪級數基本概念：收斂區間，性質，運算

2、函數的冪級數展開式：泰勒級數，初等函數的展開式

（二）考核要求

1、深刻領會概念與其性質，牢記重要初等函數展開式，熟練掌握泰勒級數。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法求函數的泰勒級數。

第十五章 傅里葉級數

（一） 考核知識點

1、三角級數與正交函數系

2、傅里葉級數

3、收斂定理

4、一般周期函數的三角展式

5. 偶函數與奇函數的傅里葉級數

（二）考核要求

1、領會傅里葉級數的理念，掌握周期函數的三角展式。

2、能夠基本方法求周期函數的三角展式。

第十六章 多元函數的極限與連續

（一） 考核知識點

1、平面點集與多元函數：平面點集，的完備性定理，二元函數，一般多元函數

2、二元函數的極限與累次極限

3、二元函數的連續性與有界閉域上連續函數的性質

（二）考核要求

1、領會考點內容，識記相關定理。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法表出實際中的多元函數。

第十七章 多元函數微分學

（一） 考核知識點

1、可微性：可微性，偏導數，全微分，幾何意義，應用

2、微分于求導法則：復合函數的求導法則，鏈式法則

3、方向導數與梯度

4、泰勒公式與極值問題：高階偏導數，中值定理，泰勒公式，極值問題

（二）考核要求

1、深刻領會可微性，熟練掌握鏈式法則，識記方向導數與梯度。

2、能夠應用本章的基本概念、基本原理、基本方法表出實際中的多元函數，泰勒公式與極值問題。

第十八章 隱函數定理及其應用

（一） 考核知識點

1、隱函數：隱函數概念，隱函數定理，隱函數的求導方法

2、隱函數組：隱函數組概念，隱函數組定理，反函數組定理

3、應用：切線，法線，切平面

4、條件極值

（二）考核要求

1、領會考點內容，識記相關結論。

2、能夠應用本章基本方法求隱函數的導數，求曲線的切線與法線，求曲面的切平面與法線。

第十九章 含參量非正常積分

（一） 考核知識點

1、含參量正常積分

2、含參量非正常積分

3、歐拉積分

（二）考核要求

1、識記相關結論，掌握歐拉積分的計算方法。

2、能夠綜合應用所學內容與歐拉積分進行概率統計中常用計算。

第二十一章 重積分

（一） 考核知識點

1、二重積分概念：矩形上二重積分，一般區域上二重積分，可積條件

2、二重積分計算：累次積分法，換元法，含參變量積分的求導法

3、三重積分：概念，累次積分，換元法

4、應用：面積，體積，引力，重心，轉動慣量

（二）考核要求

1、深刻領會重積分概念，識記相關結論，掌握重積分的求法與各種應用。

2、能夠綜合應用所學內容與本章基本方法求解決相關實際問題。

四、考試形式和試卷結構

1、試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘

2、答題方式

答題方式為閉卷，筆試。

3、試卷內容結構

分析學基礎理論  約10 %

極限與連續  約10 %

級數  約15 %

一元微積分 約40 %

多元微積分 約25 %

4、試卷題型結構

單選題 5小題， 每小題5分， 共25分

填空題 5小題， 每小題5分， 共25分

計算題 5小題， 每小題10分，共50分

證明題 3小題， 每小題10分，共30分

應用題 2小題， 每小題10分，共20分 

五、參考書目

1.《數學分析》第四版， 華東師范大學數學系，高等教育出版社，2010年；

2.《數學分析》第三版， 郭大鈞等，高等教育出版社，2015年。

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