海南師范大學全國碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[]              考試科目名稱：常微分方程

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一、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷結構

填空題；簡答題；解答與證明題等

二、考試目標：

1.掌握常微分方程的基本概念和求解微分方程的基本方法。

2.理解常微分方程的基本理論和基礎知識，增強學生綜合運用數學分析、高等代數等前置課程的基本概念、方法和結果的能力。

3.運用常微分方程的基本理論和方法來分析解決微分方程問題，以常微分方程為基礎建立數學模型。

三、考試范圍：

（一）緒論

1.常微分方程模型

會構建常微分方程模型。

2.基本概念和常微分方程的發展歷史

掌握常微分方程基本概念。

（二）一階微分方程的初等解法

1.變量分離方程與變量變換

掌握求解變量分離方程的方法；掌握用變量變換化為變量分離型方程的方法。

2.線性微分方程與常數變易法

會應用常數變易法求解線性微分方程。

3.恰當微分方程與積分因子

會求解恰當微分方程；掌握一元函數積分因子的求解與應用。

4.一階隱式微分方程與參數表示

會求解一階隱式微分方程；會選擇合適的參數表示求解方程。

（三）一階微分方程的解的存在定理

1.解的存在唯一性定理與逐步逼近法

理解解的存在唯一性定理；掌握Picard逐步逼近法。

2.解的延拓

理解解的延拓定理。

3.解對初值的連續性和可微性定理

理解解對初值的連續依賴性與可微性定理。

（四）高階微分方程

1.線性微分方程的一般理論

理解線性微分方程的有關概念；了解解的存在唯一性定理及通解結構定理；會應用常數變易法求解二階非齊次線性微分方程。

2.常系數線性微分方程的解法

掌握常系數齊次線性微分方程的解法；會應用比較系數法求解非齊次線性微分方程。

3.高階微分方程的降階和冪級數解法

會用合適的變量替換將某些高階方程降階。

（五）線性微分方程組

1.存在唯一性定理

會使用矩陣表示線性微分方程組；會將高階線性方程化為與之等價的一階線性方程組；理解存在唯一性定理。

2.線性微分方程組的一般理論

掌握線性微分方程組解的一些代數結構；會應用基解矩陣求出線性微分方程組的通解與特解。

3.常系數線性微分方程組

會求解二階方陣的特征值與特征向量；會表示特征向量互不相同的基解矩陣。

（六）非線性微分方程

1.穩定性

掌握零解穩定，不穩定，漸近穩定等概念；會求駐定解并判斷駐定解的穩定性態；會判定相關方程零解的穩定性。

2.V函數方法

了解李雅普諾夫定理。

四、主要參考書目

1.王高雄等編：《常微分方程》，第三版，高等教育出版社，2008年。