海南師范大學全國碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[]              考試科目名稱：實變函數

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一、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷結構

名詞解釋題；簡答題；計算題；證明題等

二、考試目標：

1.掌握實變函數的基本概念和基礎知識。

2.理解實變函數的基本理論和基本方法。

3.運用實變函數的基本理論和方法來證明和解決相關問題。

三、考試范圍：

第一章 集合

集合的描述與表示，子集，集合的相等;集合的并、交、差、補運算及其性質，德·摩根公式：上限集、下限集及其性質。映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質；對等及其性質；基數與基數的比較，伯恩斯坦定理?？蓴导亩x及等價條件，可列集及其性質，可數集的判斷證明。不可數集的存在性, 連續基數及其性質，連續基數的判斷證明，基數無最大者。

第二章  點集

度量空間概念、鄰域及其性質、收斂點列、點集的距離與直徑、區間概念。內點，外點，邊界點，聚點及孤立點，聚點及其等價條件，邊界，內核、導集與閉包概念及其簡單性質。Bolzano-Weierstrass定理，開集與閉集的及其運算性質，海涅-波雷爾有限覆蓋定理，緊集、自密集與完備集。直線上開集、閉集、完備集的構造。平面上開集的構造，康托（Cantor）集的構造與性質。

第三章、測度論

教學內容: 外測度及其性質，可測集的定義，可測集的運算性質，單調可測集列極限的測度。區間、開集、閉集皆可測、G6型集，Fs型集，可測集同開集、閉集、 G6 型集、Fs型集之間的關系。

第四章、可測函數

點集上的函數：廣義實數系 R=R∪(±∞)的運算?？蓽y函數的定義及等價條件，連續函數與簡單函數皆可測，可測函數關于代數運算和極限運算的封閉性，可測函數同簡單函數列的關系，“幾乎處處”的概念?？蓽y函數列的收斂性, 葉果洛夫定理。魯金定理（兩種形式），依測度收斂，依測度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定理，黎斯定理，依測度收斂極限的唯一性。

第五章、勒貝格積分

測度有限集合上有界函數的勒貝格大和與小和，上積分與下積分，有界勒貝格可積函數，有界可積的充要條件是有界可測，有界勒貝格可積函數的運算性質，勒貝格積分與黎曼積分的關系。有界函數積分的積分區域與被積函數的有限可加性，積分的線性性質。積分的單調性與絕對可積性，非負函數積分存在與可積的定義，一般函數積分存在與可積定義，勒貝格積分的性質。勒貝格控制收斂定理，列維漸升函數列積分定理，勒貝格逐項積分定理，可積函數積分區域可列可加性，法都引理，廣義黎曼可積與勒貝格可積的關系。直積、截面的概念及性質，勒貝格積分的幾何意義，富比尼定理。

四、主要參考書目

1、《實變函數與泛函分析基礎》（第三四版）程其襄張奠宙 魏國強 胡善文 王漱石 編，高等教育出版社 2019年6月 第4版

2、《實變函數論》（第二版）江澤堅 吳智泉編  高等教育出版社 1994年6月第2版；