2021年贛南師范大學碩士研究生入學考試考研大綱

 復試筆試科目：《數學思想方法與解題》

一．        試卷滿分及考試時間

試卷滿分：100分

考試時間：2小時

二．  考試題型：選擇題、填空題、解答題、問答題等題型

三．        考試大綱及參考書目

考試內容和要求

考試內容包括：高中數學課程標準；高中數學解題；數學思想方法的運用。

一、高中數學課程標準（占10%）

1. 理解普通高中數學課程的基本理念。

2. 掌握高中數學課程的總目標與具體目標。

3. 理解普通高中數學課程標準確定的內容框架與確定原則。

二、高中數學解題與數學思想方法的運用（占90%）

按照數學課程標準要求，突出數學思想方法的運用。具體內容與要求如下：

　  1.平面向量

　　考試內容：

　　向量.向量的加法與減法.實數與向量的積.平面向量的坐標表示.線段的定比分點.平面向量的數量積.平面兩點間的距離.平移.

　　考試要求：

　　(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.

　　(2)掌握向量的加法和減法.

　　(3)掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.

　　(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.

　　(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.

　　(6)掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用.掌握平移公式.

　　2.集合、簡易邏輯

　　考試內容：

　　集合.子集.補集.交集.并集.

　　邏輯聯結詞.四種命題.充分條件和必要條件.

　　考試要求：

　　(1)理解集合、子集、補集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意義.了解屬于、包含、相等關系的意義.掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

　　(2)理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義.理解四種命題及其相互關系.掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.

　　3.函數

　　考試內容：

　　映射.函數.函數的單調性.奇偶性.

　　反函數.互為反函數的函數圖像間的關系.

　　指數概念的擴充.有理指數冪的運算性質.指數函數.

　　對數.對數的運算性質.對數函數.

　　函數的應用.

　　考試要求：

　　(1)了解映射的概念，理解函數的概念.

　　(2)了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法.

　　(3)了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數.

　　(4)理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像和性質.

　　(5)理解對數的概念，掌握對數的運算性質.掌握對數函數的概念、圖像和性質.

　　(6)能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題.

　　4.不等式

　　不等式.不等式的基本性質.不等式的證明.不等式的解法.含絕對值的不等式.

　　考試要求：

　　(1)理解不等式的性質及其證明.

　　(2)掌握兩個(不擴展到三個)正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用.

　　(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.

　　(4)掌握簡單不等式的解法.

　　(5)理解不等式 .

　　5.三角函數

　　考試內容：

　　角的概念的推廣.弧度制.

　　任意角的三角函數.單位圓中的三角函數線.同角三角函數的基本關系式.正弦、余弦的誘導公式.

　　兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

　　正弦函數、余弦函數的圖像和性質.周期函數.函數 的圖像.正切函數的圖像和性質.已知三角函數值求角.

　　正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

　　考試要求：

　　(1)理解任意角的概念、弧度的意義.能正確地進行弧度與角度的換算.

　　(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義.了解余切、正割、余割的定義.掌握同角三角函數的基本關系式.掌握正弦、余弦的誘導公式.了解周期函數與最小正周期的意義.

　　(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

　　(4)能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明.

　　(5)理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數 的簡圖，理解 , , 的物理意義.

　　(6)會由已知三角函數值求角，并會用符號 表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數基本關系式： ， ， ”

6.數列

　　考試內容：

　　數列.

　　等差數列及其通項公式.等差數列前n項和公式.

　　等比數列及其通項公式.等比數列前n項和公式.

　　考試要求：

　　(1)理解數列的概念，了解數列通項公式的意義.了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項.

　　(2)理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.

　　(3)理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.

　　7.直線和圓的方程

　　考試內容：

　　直線的傾斜角和斜率.直線方程的點斜式和兩點式.直線方程的一般式.

　　兩條直線平行與垂直的條件.兩條直線的交角.點到直線的距離.

　　用二元一次不等式表示平面區域.簡單的線性規劃問題.

　　曲線與方程的概念.由已知條件列出曲線方程.

　　圓的標準方程和一般方程.圓的參數方程.

　　考試要求：

　　(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式.掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程.

　　(2)掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式.能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系.

　　(3)了解二元一次不等式表示平面區域.

　　(4)了解線性規劃的意義，并會簡單的應用.

　　(5)了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.

　　(6)掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念，理解圓的參數方程.

　　8.圓錐曲線方程

　　考試內容：

　　橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質.橢圓的參數方程.

　　雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質.

　　拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質.

　　考試要求：

　　(1)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程.

　　(2)掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.

　　(3)掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.

　　(4)了解圓錐曲線的初步應用.

　　9.直線、平面、簡單幾何體

　　考試內容：

　　平面及其基本性質.平面圖形直觀圖的畫法.

　　平行直線.

　　直線和平面平行的判定與性質.直線和平面垂直的判定.三垂線定理及其逆定理.

　　兩個平面的位置關系.

　　空間向量及其加法、減法與數乘.空間向量的坐標表示.空間向量的數量積.

　　直線的方向向量.異面直線所成的角.異面直線的公垂線.異面直線的距離.

　　直線和平面垂直的性質.平面的法向量.點到平面的距離.直線和平面所成的角.向量在平面內的射影.

　　平行平面的判定和性質.平行平面間的距離.二面角及其平面角.兩個平面垂直的判定和性質.

　　多面體.正多面體.棱柱.棱錐.球.

　　考試要求：

　　(1)掌握平面的基本性質，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想像它們的位置關系.

　　(2)掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；理解直線和平面垂直的概念，掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理.

　　(3)理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘.

　　(4)了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算.

　　(5)掌握空間向量的數量積的定義及其性質；掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩點間距離公式.

　　(6)理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念.

　　(7)掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在坐標表示下的距離.掌握直線和平面垂直的性質定理.掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質定理.

　　(8)了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念.

　　(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖.

　　(10)了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖.

　　(11)了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式.

　　10.排列、組合、二項式定理

　　考試內容：

　　分類計數原理與分步計數原理.

　　排列.排列數公式.

　　組合.組合數公式.組合數的兩個性質.

　　二項式定理.二項展開式的性質.

　　考試要求：

　　(1)掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題.

　　(2)理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題.

　　(3)理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題.

　　(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.

　　11.概率

　　考試內容：

　　隨機事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一個發生的概率.相互獨立事件同時發生的概率.獨立重復試驗.

　　考試要求：

　　(1)了解隨機事件的發生存在著規律性和隨機事件概率的意義.

　　(2)了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率.

　　(3)了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.

　　(4)會計算事件在 次獨立重復試驗中恰好發生 次的概率.

　　12.統計

　　考試內容：

　　抽樣方法.總體分布的估計.

　　總體期望值和方差的估計.

　　考試要求：

　　(1)了解隨機抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣.

　　(2)會用樣本頻率分布估計總體分布.

　　(3)會用樣本估計總體期望值和方差.

　　13.導數

　　考試內容：

　　導數的背景.

　　導數的概念.

　　多項式函數的導數.

　　利用導數研究函數的單調性和極值.函數的最大值和最小值.

　　考試要求：

　　(1)了解導數概念的某些實際背景.

(2)理解導數的幾何意義.

(3)掌握函數 ， 的導數公式，會求多項式函數的導數.

　　(4)理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區間、極大值、極小值及閉區間上的最大值和最小值.

　　(5)會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值.

參考書：1.《普通高中數學課程標準（2017版）》.北京：人民教育出版社，2018

2.《義務教育數學課程標準（2011版）》北京：北京師范大學出版社，2012