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2008 年湖南農業大學碩士招生自命題科目試題
科目名稱及代碼： 高等代數（820）
適用專業： 生物數學
考生注意事項：①所有答題必須做在答題紙上，做在試題紙上一律無效；
②按試題順序答題，在答題紙上標明題目序號。
一、設 ? ? ? ? ? ?xbgxafxf ??1
， ? ? ? ? ? ?xdgxcfxg ??1
，且 0?? bcad ，證明：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?xgxfxgxf 11
,, ? . (15 分)
二、計算下列 n 階行列式
axxx
xaxx
xxax
D
n
n
n
n
?
?
?
?
?
???
?
?
21
21
21
（15 分）
三、設 A 為 r 階方陣， B 為 nr ? 型矩陣， B 的秩為r ，證明：
（1） 0?AB 當且僅當 0?A ；
（2）若 BAB ? ，則 IA ? （ I 為單位矩陣） （15 分）
四、證明：n 列向量組 121
,,, ?n
??? ? 線性無關，且與非零向量 21
, ?? 都正交，證
明： 21
, ?? 線性相關， 121
,,, ?n
??? ? ， 1
? 線性無關。 （15 分）
五、已知齊次線性
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
??????
0
0
0
0
332211
332211
332211
332211
nn
nn
nn
nn
xbaxaxaxa
xaxbaxaxa
xaxaxbaxa
xaxaxaxba
?
???????????????
?
?
?
其中 0
1
??
?
n
i
i
a ，試討論 n
aaa ,,, 21
? 和b 滿足何種關系時，
（1）方程組僅有零解；
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