由數字0,1,2,3,4,5組成無重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有多少個？

【思路】 5！/2=300

用排列組合的對稱思想可以理解上面的解法,舉個簡單例子：5個人排隊，甲必須排在乙左邊的排法？5人全排列時，甲不在乙的左邊就在乙的右邊，故排法是1/2*5！。

袋子中標號1-9的球，從中不放回取4個，求所取的4個球標號和的期望。（E=20）

【思路】記xi為第i次取的球，i=1，2，3，4
E(Y=x1+x2+x3+x4)=E(x1)+E(x2)+E(x3)+E(x4)=4*(1/9)*(1+2+3+...+9)=20

（這道題有放回和無放回的答案相同）

設n個人排成一排，甲乙是其中兩個人，求這n個人的任意排列中，甲乙之間恰有r個人的概率。

【思路1】1、先將甲、乙2人排列：P（2，2）
2、甲乙之間R人：P（r,n-2）
3、將甲乙及之間r人看作一整體，與其他n-r-2做排列
所求P=P（2，2）*P（r,n-2）*(n-r-1)!/n!=2*(n-r-1)/n(n-1)

【思路2】P= =

袋中有白球5只，黑球6只，陸續取出3球，求
(1)、順序為黑白黑的概率
(2)、2只黑球的概率
(3)、有放回的取3次，求取得兩只黑球的概率。

【思路】(1) P=6*5*5/11*10*9=5/33
(2) P=C(2,5)C(1,5)/C(3,11)=5/11
用組合式子：陸續取3球等價于一次取三球，有2球為黑的概率，不考慮順序
也可以用排列式子，相當于黑白黑+黑黑白+白黑黑之和
3*6*5*5/11*10*9

有15球，5個為白球，把它們隨機裝進5個盒子，每盒3個，記X為有白球的盒子數，則E（X）=？

【思路】15個球放入5個盒子，每盒3個，共有 c(3,15)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)種
設 xi=1，第i個盒子內有白球 ,
xi=0，第i個盒子內無白球(i=1,2,3,4,5)
xi=1時，第i個盒子內可能有白球1，2，或3個
對應的可能為c(1,5)c(2,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)種,
c(2,5)c(1,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)種，和c(3,5)*c(0,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)種 。
也可以先求xi=0;對應為c(0,5)c(3,10)*c(3,12)*c(3,9)*c(3,6)*c(3,3)種 .
P{xi=1}=1-p{xi=0}=67/91;
E(xi)=67/91
故有白球的盒子個數位E(x1+x2+x3+x4+x5)=5*67/91=3.68

在n*n個小格子的棋盤上,隨機地劃出由若干個小方格組成的矩形,求:恰好組成正方形的概率.

【思路】設xi=i,yj=j為取出的矩形的長和寬。
則i=1,2,3,....n;j=1,2,3,...n.
x1有n-1+1=n種可能，x2有n-2+1種可能，...xn有n-n+1=1種可能
共有n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2
故p{xi=i}=(n-i+1)/(n(n+1)/2)
同理P{yj=j}=(n-j+1)/(n(n+1)/2)
正方形為i=j
p{x=i,y=i}=P{x=i}P{y=i}
P{正方形}=∑p{x=i,y=i}=∑(n+1-i) ²/(n(n+1）/2)^2i=1,2,3,....,n
因為∑(n-i+1) ²=n ²+(n-1) ²+....+1=n(n+1)(2n+1)/6
所以P{正方形}=(n(n+1)(2n+1)/6)/(n(n+1）/2) ²=

10個相同的小球放入編號為1、2、3的三個盒子內，要求每個盒子的球數不小于它的編號數，則不同的放法共有（）種？

【思路1】1號盒子可以放1—5個球，2號盒子可以放2—6個球，3號盒子可以放3—7個球，我的答案共15種。

【思路2】三個盒子必須分別至少放1，2，3個球，剩下4 個不同的放法即所求數。
1， 只放在一個盒 子中：C（3，1）
2， 放在兩個盒子中：C（3，2）*3
3， 放在三個盒子中：C（3，1）
此三項相加得15。

648的正約數的個數是______。(20)

648=2³*3⁴
【思路】正約數為4*5=20個.

（2有3個,共有取0,1,2,3個四種可能.
3有4個,共有取0,1,2,3,4個5種可能.    所以4*5=20）

5ⁿ + 13ⁿ （ n 是偶數）除以3的余數是_____。 (2)

【思路】5ⁿ =(6-1) ⁿ = (-1) ⁿ =1,13 ⁿ =(12+1) ⁿ =1 ⁿ =1 余2

設集合A的元素個數為 ，則集合A的含奇數個元素的子集的個數是 ______。

【思路】c(1,n)+c(3,n)+....=1/2*[c(0,n)+c(1,n)+c(2,n)+...+c(n,n)]=1/2*2 ⁿ =2 ^n-1