南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

考試大綱

科目代碼：T04

科目名稱：數值分析

第一部分  目標與基本要求

一、目標

數值分析課程是應用數學、信息與計算科學、統計專業的基礎課程。通過這門課的學習使掌握有關數值分析的基本數值方法和理論分析方法，運用數值方法求相關問題數值解的能力?？荚嚹繕酥饕侵饕疾炜忌鷮抵捣治龌A理論、基本知識和基本技能掌握的程度，運用所學數值方法求問題的數值解以解決實際問題的能力，并對誤差等方面做相應理論分析和估計的綜合能力。

二、基本要求

數值分析課程要求學生會運用簡單的數值方法求解積分問題、線性方程組、方程求根、函數逼近問題、常微分方程、矩陣特征值等問題，并能進行誤差分析與估計。通過該課程的學習，要求學生能夠運用數值方法求解簡單的問題，為后續數值代數、微分方程數值解等課程打基礎。

第二部分 內容與考核目標

一、緒論

1. 掌握誤差的來源與分類、誤差

2. 掌握有效數字，誤差的定性分析與避免誤差的危害、算法的數值穩定性

3. 了解計算機算法的特性

二、插值法

1. 掌握拉格朗日插值公式、牛頓插值公式，插值余項、誤差估計

2. 理解帶導數的插值，插值余項、誤差估計

3. 掌握等距節點插值，插值余項、誤差估計

4. 掌握分段低次插值、插值余項、誤差估計

5. 了解樣條插值、埃爾米特插值、插值余項、誤差估計

三、曲線擬合與平方逼近

1. 理解函數逼近，正交多項式，有理逼近的概念

2. 掌握最佳平方逼近

3. 掌握曲線擬合的最小二乘法

4. 了解三角多項式逼近及快速傅立葉變換

四、數值積分與數值微分

1. 掌握數值積分公式的一般形式及導出方法

2. 掌握插值型求積公式、幾種低階牛頓-柯特斯求積公式及余項

3. 掌握代數精度、龍貝格算法

4. 了解數值微分方法的基本思想，高斯-勒讓德等求積公式，多重積分，數值微分公式

五、常微分方程數值解法

1. 掌握Euler法、Euler 法的改進、龍格-庫塔方法

2. 掌握單步法的相容性、收斂性和穩定性

3. 了解離散變量法和離散誤差

4. 了解線性多步法的相容性、收斂性和穩定性

六、非線性方程求根

1. 掌握迭代法的基本思想、迭代過程的收斂性、迭代過程的收斂速度、迭代過程的加速原理；

2. 掌握牛頓法及其收斂性

3. 掌握弦截法及其應用；

4. 了解非線性方程組的迭代法；

七、線性方程組的直接解法

1. 掌握高斯消去法、高斯列主元消去法，直接解法的優缺點

2. 掌握LU三角分解法、平方根法、追趕法

3. 掌握向量和矩陣的范數、矩陣的譜半徑、條件數和線性方程組解的誤差的關系

4. 了解極小化方法：最速下降法、共軛梯度法

八、線性方程組迭代解法

1. 掌握雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法、SOR迭代法

2. 掌握矩陣譜范數的計算方法，迭代法的收斂性判定方法

3. 理解線性方程組迭代解法的應用

九、矩陣特征值問題

1. 掌握冪法和反冪法的原理和解決的對象及其加速方法

2. 掌握矩陣的QR法分解的原理和變形和同時過程

3. 掌握特征值的估計，正交變換的Givens和Householder變換

第三部分  有關說明與實施要求

1、基本要求：掌握基本計算方法的原理和使用， 各種計算方法的理論分析和誤差估計，具有運用各種數值計算方法解決實際問題的基本能力。

2、命題說明：填空題，約40%；計算與分析題，約60%。

3、參考書目: 李慶揚，數值分析（第五版），清華大學出版社。

4、其他規定：考試方式為閉卷筆試，總分100 分，考試時間為 120分鐘。