1（10分）設 是互不相同的整數，求證多項式

在整系數多項式環中不可約。

2（10 分） 設 ，求 有重根的條件。

3 （10分）記

求 的根。

4（10分）（1）設 ，  。求 ；

            （2）求 ，其中 。

5（15分）設 是 階方陣 的伴隨矩陣。證明：當 時， ；當 時， ；當 時， 。

6（10分）設 為 階方陣， 為正整數，線性方程組 有解向量 且 。證明：向量組 線性無關.

7(10分)求下面向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組表示：

。

8（10分）若下面線性方程組有解，常數應滿足什么條件？

9（15分）已知矩陣 

有特征值 ，矩陣 。其中 為實數， 為單位陣。

（1）    求 ，并說明 是否可以對角化；

（2）    矩陣 是否可以對角化，若能，求對角矩陣 ，使 .

10(15分)已知 均為三階非零矩陣，且

（1）    證明 與 的特征值只能是0或1；并且0和1必是 與 的特征值；

（2）    若 是 關于 的特征向量，則 必是矩陣 關于 的特征向量。

11（15分）設

（1）    用正交變換化此二次型為標準型，并寫出所有的正交變換；

（2）    是否有可逆矩陣 ，使得 。其中 是原二次型的矩陣。若有，求出它；若無，說明理由。

12  (20分)設 為有理數域上的三維向量空間， 為 到 的線性變換。若對 ，有 ，證明 線性無關。

數學分析

一、（20）設 在 上連續并且單調遞減，證明函數

在 上單調遞減。

二、（20）設 ， ，證明極限 存在并求之。

三、（20）設 是 個正實數，求 。

四、（10）區間上的連續函數如果在任何有理點上為零，證明此函數恒為零。

五、（20）證明   。

六、（20）研究函數  的連續性及可微性。

七、（20）求正向簡單閉曲線 使積分  最大，并求出最大值。

八、（每小題10分，共20）

設 為平面上一個有界閉集，連續函數 將 一對一映為平面上點集 ，證明

（1）    也是有界閉集

（2）    的逆映射也是連續函數。

------------------鄭州大學2009年高等代數考研真題試卷