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成都信息工程大學
2018 年碩士研究生入學考試自命題科目
考試大綱：
考試階段：復試 科目滿分值：100
考試科目：實變函數 科目代碼：
考試方式：閉卷筆試 考試時長：180 分鐘
一、科目的總體要求
要求考生全面的、系統的、熟悉的掌握實變函數的基本知識和計算
方法，掌握勒貝格測度與勒貝格積分。
二、考核內容與考核要求
《實變函數》主要考核 5 個方面的內容：集合、點集、測度、可測
函數、Lebesgue 積分。 能熟悉勒貝格積分的應用，了解了貝格積分的
創新思想，熟悉掌握勒貝格積分的計算。
（一）集合
內容： 1、集合的概念和運算 2、對等與基數 3、可數集合與不可
數集合
要求：學生理解集合的概念和運算；理解對等與基數的概念；理解
可數集合與不可數集合的性質；會證明集合性質的常用方法。
（二）點集
內容：1、度量空間和 n 維歐氏空間 2、內點、聚點和界點 3、開
集，閉集和完備集 4、直線上的開集，閉集和完備集的構造
要求：學生理解度量空間和 n 維歐氏空間的概念；理解內點、聚點
和界點的概念，掌握聚點的幾個等價定義；理解導集和閉包的概念；了
解外點、孤立點、開核和邊界的定義；理解開集和閉集的概念，理解開
集和閉集之間的對偶關系，理解開集和閉集的性質；了解 Heine-Borel
有限覆蓋定理；了解緊集、自密集和完備集的定義；理解構成區間與余
區間的概念；會用直線上的開集與閉集的構造定理。
（三）測度
內容: 1、外測度 2、 可測集 3、可測集類
要求: 學生理解外測度與可測集的概念；掌握集合可測的幾個充要
條件；理解可測集的性質；了解一些常用的可測集，如零集，開集、閉
集、Borel 集、G? 型集、F? 型集等；會可測集的一些常用證明方法。
（四）可測函數
內容：1、可測函數及其性質 2、葉果洛夫定理 3、可測函數的
構造 4、依測度收斂
要求：理解可測函數的概念，掌握可測函數的幾個等價定義；理解
可測函數的性質；了解簡單函數的概念，了解可測函數與簡單函數的關
系；理解幾乎處處收斂的概念，會用葉果洛夫定理；會用魯津定理；理
解依測度收斂的概念，會用 Riese 定理。了解勒貝格定理。
（五）勒貝格積分
內容：1、勒貝格積分的定義 2、勒貝格積分的性質 3、 一般可
積函數 4、Riemann 積分和勒貝格積分的關系 5、積分的極限定理
要求：理解勒貝格積分的概念，理解勒貝格積分的性質；理解一般
可積函數的定義及其性質；會用勒貝格控制收斂定理；會用列維定理；
會用 Fatou 引理；以及非負可測函數積分的幾何意義。
三、題型結構
考試滿分 100 分，其中選擇題約 30 分，計算題約 30 分，證明題約
40 分。
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