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成都電子科技大學
2016 年攻讀碩士學位研究生入學考試試題
考試科目: 601 數學分析
注： 所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上均無效。
一、 填空題(每小題 5 分, 共 25 分)
1. 極限 ? ? ??
?
2
tan
1
2lim
x
x
x
?
.
2. 若直線 xy ? 與曲線 xy alog? 相切，則 ?a ，切點坐標為 .
3. 拋物線 642
??? xxy 與直線 2?? xy 所圍成的圖形面積 ?A .
4. 設函數 ),( yxfz ? 由方程 zyxxe zyx
2?????
所確定，則 ?
?
?
x
z
.
5. 設區域 D由直線 xy ? ， 2?x 及曲線 2?xy 所圍成，則二重積分 ??D
yxyxf dd),( 先對 x
后對 y 的累次積分為 .
二、計算題（每小題 7 分, 共 14 分）
1. 設函數 )(xyy ? 由參數方程
?
?
?
?
?
,sin
,cos
taty
tatx
所確定，求 2
2
d
d
x
y
；
2. 求冪級數 ?
?
?
?
?1
12
12n
n
n
x
的和函數及定義域.
三、計算題（每小題 8 分, 共 16 分）
1. 計算 ? ?
1
0
7
dxaxx ，其中 a 為常數；
2. 計算第二類曲線積分 ? ? ? ?? ?????
L
xx
yaxyexyxbyeI dcosd)(sin ，其中 ba, 為正常數，
L為曲線 2
2 xaxy ?? 上從 )0,2( a 到 )0,0( 的一段.
四、（14 分）證明： 3
)( xxf ? 在 ),[ ??a （ 0?a ）上一致連續.
五、（12 分）設函數 )(),( xgxf 在區間 ],[ ba 上連續，且在 ),( ba 內可導，證明：存在
),( ba?? ，使得
)(')(
)(')(
)(
)()(
)()(
?
?
gag
faf
ab
bgag
bfaf
?? .
六、（12 分）證明：函數項級數 ?
?
? ?1
28
2
1n xn
xn
在 ),( ???? 上一致收斂.
七、（14 分）證明：曲面 azyx ??? （ 0?a ）上任意一點的切平面在各坐標軸上
的截距之和等于 a .
八 、（ 15 分 ） 計 算 三 重 積 分 ????
?
?
??
?
? ??? zyxzyxI ddd
5
222
， 其 中 ? 為 球 體
}2|),,{( 222
zzyxzyx ??? .
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九、（12 分）設函數 )(xf 具有二階導數， )(xF 是可導的，證明：函數
? ? ?
?
?
?????
atx
atx
yyF
a
atxfatxftxu d)(
2
1
)()(
2
1
),(
滿足振動方程 2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
?
?
?
?
?
，以及初始條件 )()0,( xfxu ? ， )()0,( xFx
t
u
?
?
?
.
十、（16 分）用確界存在定理證明零點存在定理：若函數 )(xf 在閉區間 ],[ ba 連續，且
0)()( ?? bfaf ，則一定存在 ),( ba?? ，使得 0)( ??f .
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