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成都電子科技大學
2016 年攻讀碩士學位研究生入學考試試題
考試科目：688 單獨考試高等數學
注：所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上均無效。
一、選擇題（每小題 4 分，共 32 分，只有一項符合題目要求）
1. 設
ln
( )
sin?
?
x
f x
x
，則 ( )f x 的一個可去間斷點為 ………………………………（ ）.
( )A 0?x ； ( )B 1?x ； ( )C 2?x ； ( )D ( )?? ?x n n N .
2. 設 ( )f x 連續，則 2 2
0
d
( )d
d
? ??
x
t f x t t
x
……………………………………………（ ）.
( )A 2
( )xf x ; ( )B 2
( )xf x? ; ( )C 2
2 ( )x f x ; ( )D 2
2 ( )x f x? .
3. 設 ( )f x 在 0x ? 有定義且在某鄰域可導，則 (0)f 為極小值的充分條件是……（ ）.
( )A 20
( )
lim 1
?
?
?
x
f x
x
； ( )B
0
( )
lim 1
x
f x
x?
?
? ； ( )C 20
( )
lim 1
x
f x
x?
?
? ? ； ( )D .
0
( )
lim 1
x
f x
x?
?
? ? .
4. 設 x
e 與 x 是三階常系數齊次線性方程 0??? ?? ?? ? ? ?y ay by cy 的兩個解，則……（ ）.
( )A 0, 1, 0? ? ?a b c ；( )B 1, 1, 0? ? ?a b c ；( )C 1, 0, 0? ? ?a b c ；( )D 1, 0, 1? ? ?a b c .
5. 設有曲面 ( )? ? ?S z x f y z： ，其中 f 可導，則該曲面在任一點處的切平面的法向量
n 與向量(1,1,1) 的夾角為 ………………………………………………………………… ( ).
( ) 0 ; ( ) ( ) ;
4 3
? ?
A B C; ( )
2
?
D .
6. 交換積分次序：
2
2
1 3 9
2
0 0 1 0
d ( , )d d ( , )d
x
x
x f x y y x f x y y
?
? ?? ? ? ? ………………… ( ).
( )A
2 2
1 9 2 2 9
0 2y 1 1
d ( , )d d ( , )d
? ?
?? ? ? ?
y y
y f x y x y f x y x ；
( )B
2 2
1 9 2 9
0 y 1 1
d ( , )d d ( , )d
? ?
?? ? ? ?
y y
y f x y x y f x y x ；
( )C
2 21
9 2 9
2
1
0 y 1
2
d ( , )d d ( , )d
? ?
?? ? ? ?
y y
y f x y x y f x y x ；
( )D
2 21
9 2 2 9
2
1
0 2y 1
2
d ( , )d d ( , )d
? ?
?? ? ? ?
y y
y f x y x y f x y x .
7. 設曲線 L 的方程為 2 2
4 4x y? ? (順時針方向), 則 2 2
d d
4
?
?
??L
x y y x
x y
…………… ( ).
( ) 0 ; ( ) ;?A B ( ) ;??C ( )
2
?
?D .
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8. 設級數
1
( 1)
?
?
?? n
n
n
u 條件收斂，則下列級數收斂的是…………………………… ( ).
( )A 2 2
1
1
( )
?
?
?
?? n n
n
u u ； ( )B
1
n
n
u
?
?
? ； ( )C 2
1
n
n
u
?
?
? ； ( )D 2 1
1
n
n
u
?
?
?
? .
二、填空題（每小題 4 分，共 24 分）
1. 30
arcsin
lim
sin?
?
?
x
x x
x
.
2.
1
2
0
ln(1 )d? ?? x x .
3. 設 ( )x x t? 是由方程
2
1
d 0
?
?
? ??
x t
u
t e u 所確定的函數，則 (0)x? ? .
4. 曲線 2
cos , , 1? ? ? ?t
x t y e z t 在點(1,1,1)處的法平面方程為 .
5. 設 S 是 xOy 平面上滿足 4 2, 0, 0? ? ? ?x y x y 的部分, 則曲面積分
( 2 4 ) d? ? ? ???S
x y z S .
6. 設曲線 L 的極坐標方程為 1 cos (0 2 )r ? ? ?? ? ? ? ，L 的線密度為 cos
2
?
? ? ，則曲線 L
的質量為 .
三、（10 分）設連續非負函數 ( )f x 滿足 ( ) ( ) 1 ( )f x f x x? ? ? ? ? ? ?? ，求 2
2
cos
d .
1 ( )
?
?
? ??
x
x
f x
.
四、（10 分）確定常數 , ,a b c 的值，使
2 2
20
2 4
lim 0
?
? ? ? ? ?
?
x
ax bx c x x
x
.
五、（11 分）求微分方程 sin?? ? ?y y x 滿足初始條件 (0) 0, (0) 0?? ?y y 的特解.
六、（10 分）設函數 ( , )f x y 具有連續一階偏導數， 1 2(1,1) 1, (1,1) , (1,1)? ? ?f f a f b ，又
( ) { , [ , ( , )]}? ?x f x f x f x y ，求 (1), (1)? ?? .
七、（11 分） ? ?2 2 2
( , , ) ( , , )| 1 ,
V
f x y z dV V x y z x y z? ? ? ????計算三重積分 ，其中
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
, ,
( , , ) , 0 ,
, 0.
? ? ?
?
?
? ? ? ? ??
? ? ? ?
??
x z x y
f x y z x y z x y
x y z z
八、（10 分）求冪級數
2
1 !
n
n
n
x
n
?
?
? 的收斂區間及和函數.
九、（10 分）計算曲面積分 2 2 2
d d
S
x
y z
x y z? ??? , 其中 S 為圓柱面 2 2
=1 ( 1 1)x y z? ? ? ? ,
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取外側,
十、（12 分）在變力 yz zx xy? ? ?F i j k 的作用下，質點由原點沿直線運動到橢球面
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
? ? ? 上第一卦限的點 ( , , )M ? ? ? ，問 , ,? ? ? 取何值時，力 F 所作的功W 最大？并
求出功W 的最大值.
十一、（10 分）設 )(xf 在[0,1] 上 ( ) 0f x?? ? ，證明：
1
1
0
1
( ) ( 2,3,4, ).? ? ?
? ?? ?
? ?
?
n
f x dx f n
n
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