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成都電子科技大學
2016 年攻讀碩士學位研究生入學考試試題
考試科目 857 概率論與數理統計
注：所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上均無效。
一、 填空題（每題 3 分，共 15 分）
1、任取一正整數，該數的平方的末位數是 1 的概率是__________.
2、 設隨機變量 1 2 3, ,X X X 相互獨立，其中 1X 在區間[0,6]上服從均勻分布， 2X 服從正態分
布
2
(0,2 )N ， 3X 服從參數為 3? ? 的泊松分布，記 1 2 32 3Y X X X? ? ? ,則 D（Y）
=___________.
3、 設隨機變量 X 服從參數為 2 的泊松分布，且 Y＝3X－2，則 E（3Y＋2）=__________.
4、 設 隨 機 變 量 ,X Y 相 互 獨 立 且 都 服 從 正 態 分 布
2
( 0 , 3 )N ， 而 1 2 9, , ,X X X??? 和
1 2 9, , ,Y Y Y??? 為分別來自總體X 和Y的簡單隨機樣本，則統計量 1 2 9
2 2 2
1 2 9
X X X
U
Y Y Y
? ?????
?
? ?????
服從 ，參數為 .
5、 假設一批產品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%，從中隨意取出一件，結果不是三
等品，則取得的是一等品的概率為 .
二、 單項選擇題（每題 3 分，共 15 分）
1、設當事件 A 與 B 同時發生時，事件 C 必發生，則（ ）
(A) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B? ? ? (B) ( ) ( ) ( ) 1P C P A P B? ? ?
(C) ( ) ( )P C P AB? (D) ( ) ( )P C P A B?
2 、 設 隨 機 變 量 ,X Y 均 服 從 正 態 分 布 ，
2
( ,4 )X N ? ，
2
( ,5 )Y N ? ， 記
1 { 4}p P X ?? ? ? ， 2 { 5}p P Y ?? ? ? ，則（ ）
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(A)對任何實數 ? ，都有 1 2p p? （B）對任何實數 ? ，都有 1 2p p?
(C) 只對 ? 的個別值，才有 1 2p p? （D）對任何實數 ? ，都有 1 2p p? .
3、如果 ,? ? 滿足 ( ) ( )D D? ? ? ?? ? ? ，則必有 ( )
(A) ? 與? 獨立 (B) ? 與? 不相關
(C) 0D? ? (D) 0D D? ? ?
4、若設隨機變量 X 和 Y 都服從標準正態分布，則( )
(A) X+Y 服從正態分布 (B) 2 2
X Y? 服從
2
? 分布
(C)
2
X 和
2
Y 都服從
2
? 分布 (D) 2 2
/X Y 服從 F 分布
5、設 1 2, ,X X ???為獨立同分布序列，且 ( 1,2, )iX i ? ??? 均服從參數為 4 的指數分布，當 n 比
較大時，
1
1 n
i
i
X
n ?
? 近似服從 ( ).
(A)
4
(4, )N
n
(B)
1 1
( , )
4 16
N
n
(C)
1 1
( , )
4 16
N (D) (4, )
16
n
N
三、簡答題（每題 10 分，共 30 分）
1、 有兩個口袋，甲袋中盛有兩個白球，一個黑球，乙袋中盛有一個白球，兩個黑球，由甲
袋中任取一個球放入乙袋，再從乙袋中取出一個球，求取得白球的概率。
2、假設一設備開機后無故障工作的時間 X 服從指數分布，平均無故障工作的時間（EX）為 5
小時。設備定時開機，出現故障時自動關機，而在無故障的情況下工作 2 小時便關機。
試求該設備每次開機無故障工作時間 Y 的分布函數 F(y).
3、已知隨機變量（X,Y）服從二維正態分布，并且 X 和 Y 分別服從正態分布
2
(1,3 )N 和
2
(0,4 )N ，X 和 Y 的相關系數
1
2
xy? ? ? 。設
3 2
X Y
Z ? ? ，求（1）X 與 Z 的相關系數 xz? ，
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（2）問 X 與 Z 是否相互獨立？為什么？
四、計算與證明題（每題 15 分，共 90 分）
1、 設二維連續型隨機變量（X，Y）的聯合分布函數為：
( , ) ( arctan )( arctan ),
2 3
x y
F x y A B C? ? ?
（1） 求系數 A，B，C 及（X，Y）的聯合概率密度；
（2） 求 X，Y 的邊際分布函數及邊際概率密度。
2、 設參加考試的學生成績服從正態分布，從中隨機地抽取 36 位考生的成績，算得平均成績
為 66.5 分，標準差為 15 分。問在顯著性水平 0.05 下，是否可以認為這次考試全體考生的
平均成績為 70 分？并給出檢驗過程。
{ ( ) ( )}pP t n t n p? ?
0.95 0.975
35 1.6896 2.0301
36 1.6883 2.0281
3、 設二維隨機變量（X,Y）的聯合概率密度函數為
1
, 1, 1
( , ) 4
0,
xy
x y
f x y
??
? ??
? ?
?? 其他
證明 X,Y,不相互獨立，但
2
X 和
2
Y 相互獨立.
4、設 1 2, ,X X ???是一列兩兩不相關的隨機變量，又設它們的方差有界，即存在正數 C，使得
( ) , 1,2, ,iD X C i? ? ??? 試證明：對任意的 0? ? 有
1 1
1 1
lim { ( ) } 0
n n
i i
n
i i
P X E X
n n
?
??
? ?
? ? ?? ? .
5、設隨機變量 X 與 Y 獨立，其中 X 的概率分布為
n
( )pt n p
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1 2
0.3 0.7
X
? ?
? ?
? ?，
而 Y 的概率密度為 ( )f y ，求隨機變量 U＝X＋Y 的概率密度 ( )g u 。
6、設 1 2, , , nX X X??? 為來自總體 ),( 2
??N 的簡單隨機樣本，記
22 2 2
1 1
1 1 1
, ( ) ,
1
n n
i i
i i
X X S X X T X S
n n n? ?
? ? ? ? ?
?
? ?
（1）證明 T 是
2
? 的無偏估計量。
（2）當 0, 1? ?? ? 時，求 D（T）。
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