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成都電子科技大學 博士研究生入學考試初試自命題科目考試大綱
考試科目 2002 數理方程和復變函數 考試形式 筆試（閉卷）
考試時間 180 分鐘 考試總分 100 分
一、總體要求
主要考察學生掌握《數理方程和復變函數》的基本概念和基本理論的程度，重點考察數理方程和
復變函數的基本原理和方法。要求學生能夠靈活運用所學知識，并具備較強的分析問題與解決問題
的能力。
二、內容
數理方程部分
1. 定解問題
1)典型數學物理方程的導出（波動方程，熱傳導方程，拉普拉斯方程）
2)能寫出（導出）定解條件，齊次化原理，二階線性偏微分方程的分類和化簡。
2. 分離變量法
1)掌握分離變量法
2)能應用于波動方程、熱傳導方程的混合問題和特殊區域上拉普拉斯方程的狄利克雷問題
3)非齊次問題的常用處理方法。
3. 行波法
1)一維波動方程的達朗貝爾公式
2)半無界問題，三維波動方程柯西問題的泊松公式及推導。
4. 積分變換
1)Fourier 變換與 Laplace 變換的性質，以及在定解問題求解中的應用。
5. 格林函數法
1）格林公式和應用，格林函數的性質；
2）一些特殊區域上的格林函數和狄利克雷問題。
6. Bessel 函數
1）Bessel 函數及其性質
7. Legendre 多項式
1）Legendre 多項式及其性質。
復變函數部分
1. 復數與復變函數
1）復數、復平面上的點集，復數的代數運算，乘冪與方根；
2）復數的三角表示，復變函數，極限，連續性，區域與若爾當曲線，復球面與無窮遠點。
2. 解析函數
1）解析函數概念與柯西－黎曼條件，求導法則，可微的必要條件和充分條件，奇點；
2）初等解析函數（正整數次冪函數、指數函數、三角函數、雙曲函數），初等多值函數（根式
函數、對數函數、反三角函數、一般指數函數、一般冪函數），多值解析函數的支點、割線、
解析分支。
3. 復變函數的積分
1）復積分的概念及基本性質；
2）柯西－古薩基本定理（單連通與復連通域），定積分與原函數，柯西積分公式，高階導數公
式，解析函數的無窮可微性，劉維爾定理，摩勒拉定理，調和函數與共軛調和函數，平均值
定理與極值原理。
4. 解析函數的冪級數表示法
1）復級數的基本性質，收斂與一致收斂，冪級數，收斂半徑，和函數的性質；
2）解析函數的泰勒展開式，解析函數零點的孤立性及唯一性定理，最大模原理。
5. 解析函數的洛朗展開式與孤立奇點
1）解析函數的洛朗展開式；
2）解析函數的孤立奇點，皮卡定理，解析函數在無窮遠點的性態，整函數與亞純函數的概念。
6. 留數理論及其應用
1）留數的概念和求法，留數定理，用留數計算實積分；
2）輻角原理，儒歇定理及應用。
7. 保形變換
1）解析變換的特征，導數的幾何意義；
2）單葉解析變換的共形性，分式線性變換，唯一決定分式線性變換的條件。
三、題型
分析計算題
證明題
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