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福建師范大學
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碩士研究生入學考試《數學分析》考研大綱
Ⅰ 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為 150 分，考試時間為 3 小時。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷題型結構
1、填空題 40 分
2、計算題 40 分
3、證明題 70 分
II 考試范圍
第一章 實數集與函數
1.運用實數的有序性、稠密性及封閉性論證有關問題，鄰域概念的理
解及應用；
2.實數絕對值的有關性質及幾個常見不等式的應用；
3.實數集確界的概念及確界原理在有關問題中的正確運用；
4.函數的概念及復合函數、反函數、有界函數、單調函數和初等函數
等概念理解和運用；
5.基本初等函數定義、性質及圖象的識記，會求初等函數定義域，分
析初等函數的復合關系。
第二章 數列極限
1.會用ε —N 定義證明數列極限有關問題，并會用ε —N 語言正確表
述數列不以某數為極限；
2.理解收斂數列的性質，極限的唯一性、保號性及不等式性質；
3.會用極限的四則運算法則，迫斂性定理以及單調有界定理求收斂數
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列的極限；
4.理解柯西準則在極限理論中的重要意義，能用該準則判定某些簡單
數列的斂散性。
第三章 函數極限
1.能運用函數極限定義證明與函數極限有關的某些命題，會給出函數
不以某定數為極限的相應表述；
2.掌握函數極限基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質及有理
運算性質；
3.理解 Heine 定理及 Cauchy 準則，初步掌握運用它們證明函數極限
存在的基本思路；
4.識記兩個重要極限，能靈活運用其求一些相關函數極限；
5.理解無窮小(大)量及其階的概念，會用無窮小量求某些函數的極限,
無窮小(大)量階的比較。
第四章 函數的連續性
1.明確函數在一點連續定義的幾種等價敘述；
2.會熟練準確地求出一般初等函數或分段函數的間斷點并判別其類
型；
3.理解連續函數的性質，并能在相關問題的討論中正確運用這些重要
性質；
4.深刻理解初等函數的連續性，應用連續性求極限；
5.掌握閉區間上連續函數的性質，理解其幾何意義，并能在各種有關
具體問題中加以運用；
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6.理解一致連續的概念，能認識到函數在區間上連續與一致連續兩者
之間的聯系與區別。
第五章 導數與微分
1.利用定義法求函數在一點的導數；導數與導函數的聯系與區別，可
導的充要條件，可導與連續的關系，求曲線上一點處的切線方程，用
導數概念解決相關變化率的實際應用問題；
2.熟記各類基本初等函數導數公式，綜合運用求導的法則和方法熟練
計算初等函數的導數；
3.理解函數微分的概念，用定義求簡單函數的微分，運用基本公式和
微分法則求初等函數的微分；
4.導數與微分的聯系，增量與微分的關系，用微分作近似計算；
5.理解高階導數與高階微分概念，明確二者的聯系，會求高階導數與
高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復合函數的微分。
第六章 微分中值定理及應用
1.利用中值定理證明有關函數微分學的命題；
2.用洛比塔法則求不定式的極限；
3.討論函數及曲線性態，用導數作函數圖象；
4.求解有關最大(小)值的應用問題；
5.用中值定理及單調性證明不等式，方程根的存在個數及分布討論。
第七章 實數的完備性
1.區間套、聚點、確界、覆蓋、子列及一致連續等概念的理解；求點
集的聚點、確界；
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2.對實數基本定理的理解和準確表述，明確其等價性；
3.應用閉區間上連續函數的性質討論函數的有界性、最值性、證明方
程根的存在性；
4.函數一致連續性的判別及有關問題的證明。
第八章 不定積分
1.原函數與不定積分的關系及其幾何意義；積分與微分的關系；
2.熟記基本積分公式，用線性運算法則求不定積分；
3.用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分；
4.有理函數的積分法，用適當變換求三角函數有理式、簡單無理函數
的積分；
5.明確初等函數在定義區間存在原函數，但其原函數不一定是初等函
數的結論。
第九章 定積分
1.理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎上會用
定義求簡單函數的定積分；
2.明確可積的必要條件、充要條件及可積函數類；
3.熟練地應用定積分的性質進行積分的計算，積分值的大小比較、求
平均值及有關證明；
4.用微積分學基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關積分的證
明和計算；變限積分的求導法則及應用；
5.用換元積分法和分布積分法計算定積分。
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第十章 定積分的應用
1.用定積分解決某些幾何應用問題：平面圖形面積、平面曲線的弧長、
一些特殊立體的體積、旋轉曲面的面積等的計算；
2.用微元法的思想及定積分計算一些物理上的應用問題：液體靜壓
力、引力及功和平均功率。
第十一章 反常積分
1.用比較法、Cauchy 法判別無窮限積分的收斂性；
2.瑕積分中瑕點的確定及收斂性判別；
3.收斂的反常積分的計算。
第十二章 數項級數
1.級數斂散性的概念及收斂級數性質的理解和運用；
2.用定義、性質及收斂的必要條件判別級數的斂散性；
3.用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數斂散性；
4.用萊布尼茲判別法判斷交錯級數的斂散性；
5.用 Abel 及 Dirichlet 判別法判斷某些級數的斂散性。
第十三章 函數列與函數項級數
1.函數列或函數項級數一致收斂的概念和性質的理解與掌握；
2.函數項級數一致收斂性的判別；
3.掌握一致收斂的函數列與函數項級數表示的函數的連續性、可積
性、可微性，并用這些性質去解決有關問題。
第十四章 冪級數
1.求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域；
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2.熟記幾個常用初等函數的冪級數展開式，并利用其將某些初等函數
展開成冪級數；
3.用冪級數的性質及逐項求導和逐項積分求某些冪級數的和函數；
4.明確函數冪級數展開的條件及求函數冪級數展開式的一般步驟。
第十五章 傅里葉級數
1.熟練地將以 2π 為周期的函數展成 Fourier 級數，并應用收斂定理
求級數在指定點的和；
2.將 2π 為周期的函數展成 Fourier 級數，會求函數的正弦級數和余
弦級數；
3.準確表述收斂性定理，知道其證明主要思路。
第十六章 多元函數的極限與連續
1.理解平面點集的有關概念，求函數的定義域并繪圖表示；
2.理解并掌握二元函數極限概念，明確重極限與累次極限的關系，能
借助累次極限解決極限有關問題；說明二元函數極限不存在的常用方
法的應用；
3.理解二元函數連續的概念，會利用連續性求初等函數的極限，掌握
有界閉域上連續函數的性質。
第十七章 多元函數微分學
1.深刻理解全微分和偏導數的概念及聯系，用定義討論函數的可微
性；
2.用定義求函數在指定點的偏導數；
3.熟練運用復合函數求導法則計算各階偏導數；
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4.函數的可微、連續、偏導存在與偏導數連續之間關系；
5.求空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；
6.能寫出簡單二元函數的 Taylor 公式或 Maclaurin 公式；
7.求二元函數的極值及一些簡單的最大(小)值應用問題。
第十八章 隱函數定理及應用
1.求隱函數及隱函數組的導數；
2.明確隱函數及隱函數組存在唯一性及可微性條件；
3.隱函數理論在幾何上的應用，求曲線切線、法線(法平面)、求曲面
的切平面和法線；
4.用 Lagrange 乘數法求條件極值。
第十九章 含參量積分
1.分析、論證含參量積分定義的函數的連續性，可微性或可積性；
2.判別含參量反常積分一致收斂性；
3.用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分；
4.Γ 函數及 B 函數的定義、關系及遞推公式的應用。
第二十章 曲線積分
1.熟練運用兩類曲線積分的計算法求曲線積分；
2.用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關應用問題。
第二十一章 重積分
1.直角坐標系下計算二重積分及二次積分交換順序；
2.利用變量替換公式簡化二重積分計算，特別是利用極坐標變換計算
二重積分；
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3.應用 Green 公式計算第二型曲線積分，及用第二型曲線積分計算平
面圖形面積；用曲線積分法求全微分式的原函數；
4.化三重積分為累次積分，用柱面坐標和球面坐標計算三重積分；
5.應用重積分計算曲面面積，重心、轉動慣量及引力等幾何和物理量。
第二十二章 曲面積分
1.第一、二型曲面積分的計算；
2.應用 Gauss 公式和 stokes 公式計算曲面積分及空間曲線積分；
3.應用曲面積分解決有關幾何及物理應用問題；
4.空間曲線積分與路線無關的條件，用曲線積分法求全微分式的原函
數。
III 主要參考書
[1]華東師范大學數學系編, 數學分析（上、下冊）,高等教育出版社
[2]陳紀修,於崇華,金路編,數學分析（上、下冊）, 高等教育出版
[3]裴禮文編,數學分析中的典型問題與方法,高等教育出版社
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