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福建師范大學
高等代數考研大綱
Ⅰ 考查目標
高等代數課程是一門基礎理論課.近年來，由于自然科學，社會科學和工程技術的迅速
發展，特別是由于電子計算機的普遍應用，使得代數學得到日益廣泛的應用.這就要求數學
專業的本科學生不僅了解代數學的一些計算問題，還應具備代數學的基礎理論知識，以便融
會貫通的運用代數學的工具去解決理論上和實踐上遇到的各種問題.
本課程包括一元多項式理論，線性代數，其中以線性代數為主，具有很強的抽象性與邏
輯性.本課程的考查注重學生科學的思維方式，分析問題和解決問題的能力；同時滲透現代
數學的觀點和的思想.通過本課程的考查，能體現“學生掌握多項式理論的基本概念，線性
方程組的基本理論，矩陣的基本運算和技巧，線性空間與歐幾里得空間的基本性質，線性變
換的基本概念和方法”的基本情況.考查學生的抽象思維能力，解決實際問題的方法，從而
為學生的研究生階段的學習打下必要的代數學基礎.
難度以應屆本科優秀學生能取得及格以上成績為基準.
Ⅱ 考試形式和試卷結構
1 填空題約占 30%
2 計算題約占 40%
3 證明題約占 30%.可以根據需要將證明題分為基本證明題和綜合證明題兩大部分.
4、試卷總分 150 分.
Ⅲ 考查范圍
第一部分 多項式
一 多項式代數與多項式函數
二 最大公因式和互質（與數域擴充無關的性質）
三 因式分解（與數域擴充有關的性質）及應用
第二部分 行列式
一 行列式的定義、性質及應用
二 行列式的計算
第三部分 矩陣初步
一 矩陣代數
二 矩陣的初等變換及應用
三 方塊矩陣的初等變換及應用
第四部分 線性空間
一 線性空間的定義
二 向量的線性關系
三 子空間與空間直和分解
第五部分 線性變換
一 線性映射
二 線性變換
三 同構對應及應用
第六部分 線性方程組
一 齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示
二 非齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示
三 線性方程組的反問題和矩陣方程
第七部分 矩陣的秩
一 矩陣的秩的等價刻劃
二 關于矩陣秩的命題及應用
第八部分 線性空間同構
一 線性空間的同構
二 三種重要的同構
三 命題的互相轉化及應用
第九部分 特征值與特征向量
一 矩陣的特征值與特征向量 特征多項式 最小多項式
二 線性變換的特征值與特征向量 特征多項式 最小多項式
三 可對角化的矩陣（線性變換）
第十部分 空間分解定理和 Jordan 標準形
一 空間分解定理
二 Jordan 標準形
三 Jordan 標準形的求法
四 Jordan 標準形應用舉例
第十一部分 歐氏空間
一 歐氏空間的正交向量
二 歐氏空間的子空間的正交補
三 n 維歐氏空間的線性變換
第十二部分 二次型
一 二次型（對稱陣）的標準形
二 正定二次型（對稱陣）與二次型（對稱陣）的正定性
第十三部分 等價關系與矩陣標準型
一 等價關系與分類
二 矩陣中的幾種等價關系與矩陣標準型
Ⅳ 參考書
（1）張禾瑞、郝炳新編.高等代數(第五版).高等教育出版社，2008 年.
（2）北京大學數學系編. 高等代數(第 3 版).高等教育出版社，1988 年.
（3）邱維聲編.高等代數.高等教育出版社，2002 年.
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