東北石油大學601高等數學考研大綱

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研究生入學考試高等數學考研大綱
考試科目：高等數學 601
考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷內容結構
高等教學 100％
四、試卷題型結構
單項選擇題 10 小題，每小題 4 分，共 40 分
填空題 10 小題，每小題 4 分，共 40 分
解答題（包括證明題） 7 小題，共 70 分
高等數學
一、函數、極限、連續
考試內容
函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、
分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立
數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限與右極限無窮小量和無窮大量
的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個
準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：
0
sin
lim 1
x
x
x?
? ，
1
lim 1
x
x
e
x? ?
? ?
? ?? ?
? ?
函數連續的概念函數間斷點的類型初等函數的連續性閉區間上連續函數的性質
考試要求
1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系．
2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．
3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．
4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念．
5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右
極限之間的關系．
6．掌握極限的性質及四則運算法則．
7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的
方法．
8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求
極限．
9．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型．
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10．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、
最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．
二、一元函數微分學
考試內容
導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函數的可導性與連續性之間的關系
平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函數的導數復合函數、反函
數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法高階導數一階微分形式的不變性微分
中值定理洛必達（L'Hospital）法則函數單調性的判別函數的極值函數圖形的凹凸
性、拐點及漸近線函數圖形的描繪函數的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率
圓與曲率半徑
考試要求
1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面
曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的
可導性與連續性之間的關系．
2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了
解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分．
3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．
4．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數．
5．理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定
理，了解并會用柯西( Cauchy ）中值定理．
6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．
7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函
數最大值和最小值的求法及其應用．
8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區間? ?,a b 內，設函數 ( )f x 具有二階導數．當
( ) 0f x?? ? 時， ( )f x 的圖形是凹的；當 ( ) 0f x?? ? 時， ( )f x 的圖形是凸的），會求函數圖形
的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．
9．了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．
三、一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基
本性質定積分中值定理積分上限的函數及其導數牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式
不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函
數的積分反常（廣義）積分定積分的應用
考試要求
1．理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．
2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握
換元積分法與分部積分法．
3．會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分．
4．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式．
5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．
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6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、
旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）
及函數的平均值．
四、多元函數微積分學
考試內容
多元函數的概念二元函數的幾何意義二元函數的極限與連續的概念有界閉區域
上二元連續函數的性質多元函數的偏導數和全微分多元復合函數、隱函數的求導法二
階偏導數多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質和計
算
考試要求
1．了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義．
2．了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質．
3．了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求
全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數．
4．了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二
元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求
簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題．
5．了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）．
五、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程
可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質及解的結構定理二階常系數齊次線性微
分方程高于二階的某些常系數齊次線性微分方程簡單的二階常系數非齊次線性微分方
程微分方程的簡單應用
考試要求
1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
2．掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程．
3．會用降階法解下列形式的微分方程：
( )
( ), ( , )
n
y f x y f x y?? ?? ? 和 ( , )y f y y?? ?? ．
4．理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理．
5．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性
微分方程．
6．會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常
系數非齊次線性微分方程．
7．會用微分方程解決一些簡單的應用問題．

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