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大連理工大學 2018 年碩士研究生入學考研大綱
科目代碼：602 科目名稱：數學分析
試題分為兩大類，第一類為簡單證明和計算題，主要考查考生基本概念、基本定義、基本
公式和基本計算方法的掌握程度，約占 40%。第二類為證明題、邏輯推理題以及計算題，主要考
查考生分析問題和解決問題的能力，約占 60%。具體復習考研大綱如下：
一、數列極限
1、數列極限的概念，ε -N 語言。
2、數列極限的性質和運算法則。
3、數列極限的存在性、求極限的一些方法。
4、基本列的定義，Cauchy 原理及其應用。
5、無窮大和無窮小的概念以及無窮大與無窮小的聯系。
6、數集的上、下確界，數列的上、下極限。
7、實數的六個等價定理。
8、Stolz 定理。
二、函數極限與連續
1、集合的勢，可數集與不可數集。
2、函數極限定義，ε —δ 語言，函數極限的其他形式。
3、函數極限的性質，函數極限與數列極限的關系。
4、無窮小與無窮大的級的概念，o 與 O 的運算規則。
5、函數在一點連續的定義及其性質，初等函數的連續性、間斷點分類。
6、一致連續的定義，連續與一致連續的區別、一致連續的判別。
7、有界閉區間上連續函數的各種性質及其應用。
8、函數上、下極限的概念與性質。
三、函數的導數及其應用
1、導數的定義，導數的幾何意義，導數及高階導數的運算規則，導數和高階導數的計算。
2、微分的定義及其運算規則，一階微分形式的不變性。
3、微分學的中值定理及其應用。
4、函數的單調性，函數的極值和最值，函數的凹凸性等。
5、L’Hospital 法則及應用。
6、Taylor 定理、各種余項的 Taylor 展開（包括積分余項的 Taylor 展式）以及函數的 Maclaurin
展式，Taylor 展開的應用。
7、函數作圖。
四、不定積分
1、原函數的定義及不定積分的運算規則，基本公式。
2、不定積分的換元法與分部積分法。
3、有理函數及可有理化函數的不定積分。
五、定積分
1、定積分的定義，幾何含義與物理含義。
2、定積分的性質與積分均值定理。
3、微積分基本定理。
4、可積的充分必要條件。
5、曲線的各種表示方式，光滑曲線的定義及切向量，光滑曲線的弧長。
6、定積分的計算，分部積分和換元公式。
7、 面積原理，定積分在物理，幾何中的應用。
六、多元函數極限與連續
1、Eculid 空間的性質、點列極限的概念和性質。
2、開集與閉集、列緊與緊致、連通性。
3、多變元函數極限，累次極限、重極限。
4、多變元函數的連續與一致連續、連續函數的性質及其應用。
5、連續映射
七、多元函數微分學及其應用
1、偏導數、方向導數的定義及計算。
2、多元函數微分的概念，可微、連續和偏導之間的關系。
3、復合求導，高階偏導數。
4、隱函數定理、隱映射與逆映射定理及其應用。
5、多元 Taylor 展式。
6、多元函數極值求法、條件極值。
7、曲面的各種表示方法，曲面的法向量，切平面方程。
八、重積分
1、重積分定義、幾何意義與物理意義，重積分的可積性條件，重積分的性質。
2、重積分的計算。
3．重積分的應用。
九、曲線積分和曲面積分
1、第一、第二型曲線積分的定義和計算及其物理意義。
2．Green 公式。
3、第一型曲面積分和第二型曲面積分的定義和計算及其物理意義。
4、Gauss 公式和 Stokes 公式。
5、場論初步，梯度，散度，旋度的定義和物理意義。
6、 有勢場和勢函數
十、數項級數
1、級數收斂的定義及基本性質。
2、 正項級數的判別法。
3、 絕對收斂與條件收斂。
4、一般項級數收斂性的判別。
5、級數的乘積。
6、無窮乘積。
十一、函數項級數和函數列
1、函數項級數、函數列的逐點收斂與一致收斂。
2、函數項級數和函數列一致收斂性的判別。
3、極限函數與和函數的性質。
4、冪級數的性質和函數的冪級數展開。
5、多項式可一致逼近連續函數定理。
6、冪級數的應用。
十二、廣義積分和含參變量的積分
1、廣義積分和含參量廣義積分的定義與性質。
2、廣義積分的收斂性判別、絕對收斂和條件收斂。
3、含參量廣義積分一致收斂。
4、含參量廣義積分的性質，極限各種換序。
5、Euler 積分，Gamma 函數和 B 函數
十三、Fourier 積分
1、Fourier 級數的定義和函數的 Fourier 級數展開。
2、Fourier 級數的收斂性。
3、Fourier 級數的 Cesaro 求和。
4、平方平均逼近和 Weierstrass 第二逼近定理。
5、Fourier 積分與 Fourier 變換。
附復習資料
1、《數學分析教程》，編者：常庚哲、史濟懷，中國科學技術大學出版社，2013 年，第三版
2、《數學分析》，編者：李成章、黃玉民，科學出版社，2005 年，第二版
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