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大連海事大學碩士研究生入學考研大綱
考試科目：高等代數
試卷滿分及考試時間：試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
考試內容
一、 多項式
1. 多項式的帶余除法、整除性，最大公因式、互素多項式。
2. 不可約多項式，因式分解唯一性定理，重因式，復系數與實系數
多項式的因式分解，有理系數多項式不可約的判定。
3. 多項式函數與多項式的根，有理系數多項式有理根的求法，根與
系數關系。
二、 行列式
1．n 階行列式的概念和基本性質，行列式的子式、余子式以及代數
余子式。
2．行列式按行(列)展開定理，Vandermonde 行列式，Cramer 法則，
Laplace 定理，行列式乘積法則。
3. 行列式的計算。
三、 線性方程組
1. 向量空間。
2．向量組的線性相關與線性無關。
3．向量組的極大線性無關組，向量組的秩。
4．等價向量組的概念和性質。
5．矩陣的秩。
6．求解線性方程組的消元法。
7．線性方程組有解的判定，齊次線性方程組有非零解的充分必要條
件。
8．齊次線性方程組的基礎解系和通解，解空間。
9．非齊次線性方程組的解向量的性質和通解。
四、 矩陣
1．矩陣的加法、乘積、方冪、轉置等運算及性質。
2．矩陣的初等變換，等價矩陣，等價標準形。
3．初等矩陣的概念和性質。
4．逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，用伴隨矩陣及
初等變換求逆矩陣。
5．分塊初等矩陣及應用。
五、 二次型
1．二次型的矩陣表示及秩。
2．用可逆線性變換化二次型為標準形(配方法，初等變換法)。
3．合同矩陣、對稱陣在合同變換下的標準形。
4．用正交變換化二次型為標準型。
5．一般數域、復數域、實數域上二次型的標準形和規范形，慣性定
理。
6．正、負定二次型(或正、負定矩陣)的判定。
六、 線性空間
1．線性空間、基底、維數及坐標等概念。
2．線性子空間及其交與和的基與維數。
3．線性空間的基變換和過渡矩陣。
4．線性子空間的直和。
5．線性空間的同構。
七、 線性變換
1．線性變換的概念及矩陣表示，線性變換的運算及在給定基下的矩
陣。
2．線性變換（矩陣）的特征值與特征向量的概念、性質。
3．相似變換、相似矩陣的概念及性質。
4．線性變換（矩陣）可相似對角化的充分必要條件，相似對角矩陣。
5．正交矩陣、實對稱陣及其性質。
6．象子空間與核子空間的基與維數。
7．不變子空間。
8．Hamlton-Cayley 定理，Jordan 標準形，最小多項式。
八、 ? -矩陣
1. ? -矩陣的初等變換，? -矩陣的行列式因子、不變因子、初等因
子以及三種因子之間的關系。
2. ? -矩陣的等價與數字矩陣的相似。
3. Jordan 標準型的理論推導。
九、 歐氏空間
1．向量的內積、范數、夾角。
2．Schmidt 正交化過程，規范正交基。
3．正交子空間和正交補。
4．正交變換和對稱變換的概念和性質。
5. 實對稱陣正交相似于對角陣的計算。
參閱
1．課程教材：《高等代數》（第四版），北京大學數學系編，高等
教育出版社，2014 年。
2．參考資料：徐仲等編，《高等代數導教、導學、導考(第四版)》，
西北工業大學出版社，2014 年。
3．參考資料：《高等代數習題課輔導》，大連海事大學數學系自編
輔導書，2014 年。
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