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大連海事大學碩士研究生入學考研大綱
考試科目：復變函數
試卷滿分及考試時間：試卷滿分為 100 分，考試時間為 180 分鐘。
考試內容
一、復數與復變函數
1. 熟悉復數、復變函數的概念，極限、連續。
2. 理解掌握復數的計算，復變函數的極限、連續運算。
3. 簡單應用復數的指數形式運算和幾何意義。
二、解析函數
1. 熟悉解析函數的定義，初等解析函數及其性質。
2. 理解掌握解析函數的定義，柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程及
用它判解析函方法。
3. 簡單應用初等多值函數分出單葉解析分支，并在單葉性區域內由
初值確定終值。
4. 能進行具有多個有限支點的多值函數分出單葉解析分支的方法，
并在單葉性區域內由初值確定終值。
三、復變函數的積分
1. 熟悉復積分的定義及性質。
2. 理解掌握柯西（Cauchy）積分定理及其推廣，柯西積分公式及其
推論。
3. 簡單運用柯西積分定理和柯西積分公式、高階導數公式計算函數
沿閉曲線的積分，已知解析函數的實部（或虛部），求該解析函數。
4. 能進行柯西不等式與劉維爾（Liouville）定理的證明，利用摩勒
拉（Morera）定理判斷解析函數。
四、解析函數的冪級數表示法
1. 熟悉復級數的基本性質。
2. 理解掌握冪級數的斂散性及其收斂半徑、收斂圓的確定方法，泰
勒定理，冪級數和的解析性。
3. 簡單應用解析函數的冪級數表示，一些初等函數的泰勒（Taylor）
展式，冪級數的和函數在收斂圓周上的奇點的存在性。
4. 能進行解析函數的零點孤立性．唯一性定理．最大模原理的證明。
五、解析函數的洛朗（Laurent）展式與孤立奇點
1. 熟悉雙邊冪級數，孤立奇點的類型，整函數與亞純函數的概念。
2. 理解掌握雙邊冪級數的斂散性，洛朗定理。
3. 簡單應用將解析函數在孤立奇點鄰域內展成洛朗級數，收斂圓環
的確定，判斷孤立奇點類型。
4. 能判斷在無窮遠點的孤立奇點類型。
六、留數理論及其應用
1. 熟悉留數，對數留數。
2. 理解掌握留數定理，輻角原理，儒歇（Rouch）定理。
3. 能利用柯西留數定理計算函數沿閉曲線的積分，用留數定理計算
實積分。
4. 能進行考察區域內解析函數零點分布狀況，輻角原理，儒歇定理
的證明。
七、保形變換
1. 熟悉保形變換的特性。
2. 理解掌握分式線性變換的特性。
3. 能進行某些初等函數所構成的保形變換。
參閱
1. 課程教材：鐘玉泉，《復變函數》，高等教育出版社，第三版。
2. 參考資料：鐘玉泉，《復變函數學習指導書》，高等教育出版社。
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