北京林業大學數學分析考研大綱

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北京林業大學
《數學分析》考研大綱
一、考試的性質
數學分析是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。為幫
助考生明確考試范圍和有關要求，特制訂出本考研大綱。
本考研大綱主要根據北京林業大學數學與應用數學本科《數學分析》教學考研大綱編制而成，適用于報考
北京林業大學數學學科各專業（基礎數學、概率論與數理統計、計算數學、應用數學）碩士學位研究生的
考生。
二、考試內容和基本要求
1．實數集與函數
（1）確界概念，確界原理
（2）函數概念與運算，初等函數
要求：理解確界概念與確界原理，并能運用于有關命題的運算與證明。深刻理解函數的意義，掌握函
數的四則運算。
2．數列極限
（1）數列極限的ε 一 N 定義
（2）收斂數列的性質
（3）數列的單調有界法則，柯西收斂準則，重要極限
要求：深刻理解數列極限的ε 一 N 定義，并會運用它驗證給定數列的極限；掌握數列極限的性質，并
會運用它證明或計算給定數列的極限；掌握數列極限存在的充要條件與充分條件，并能運用這些條件證明
或判斷數列極限的存在性；掌握重要極限并能運用它計算某些數列極限。
3．函數極限
(1) 函數極限的ε 一 M 定義和ε 一δ 定義，單側極限
(2) 函數極限的性質
(3) 海涅定理（歸結原則），柯西收斂準則，兩個重要極限
(4) 無窮小量與無窮大量的定義、性質，無窮?。ù螅┝侩A的比較
要求:理解各類函數極限的定義，并能按定義驗證給定的函數極限；掌握函數極限的性質，并能用它
證明或計算給定的函數極限。掌握函數極限的歸結原則，并能用它來判斷函數極限的存在性和計算某些數
列極限。掌握函數極限的柯西準則，了解單側極限的單調有界定理；熟練掌握兩個重要極限，并運用它們
進行有關函數極限的計算；掌握各類無窮小量與無窮大量的定義與性質，理解無窮小（大）量的階的概念。
4．函數的連續性
(1) 函數在一點連續，單側連續和在區間上連續的定義，間斷點的類型
(2) 連續函數的局部性質。復合函數的連續性，反函數的連續性。閉區間上連續函數的性質。
(3) 一致連續的定義，初等函數的連續性
要求:深刻理解函數連續性概念，掌握間斷點的概念及分類；掌握連續函數的局部性質以及復合函數
和反函數的連續性，掌握閉區間上連續函數的性質；理解函數在區間上一致連續概念，并能用定義驗證給
定函數在某區間上為一致連續或非一致連續。
5．導數與微分
(1) 導數的定義，導數的幾何意義
(2) 導數四則運算、反函數導數、復合函數導數，求導法則與求導公式
(3) 參數方程所確定的函數的導數，高階導數
(4) 微分概念、微分基本公式，微分法則，一階微分形式的不變性。微分在近似計算中的應用，高
階微分
要求:深刻理解導數概念，并能用定義求某些函數在一點的導數，清楚可導與連續的關系；掌握求導
法則與技巧，能熟練地用它們計算可導函數的導數；理解可微性概念，并能用于近似計算。理解高階導數
的概念，掌握計算方法。掌握參數方程所確定函數的求導方法。
6．微分中值定理及其應用
(1) 費馬定理，羅爾定理，拉格朗日定理
(2) 柯西中值定理，羅比達法則，不定式極限
(3) 泰勒公式
(4) 函數的單調性、凸性與拐點、極值與最值
(5) 漸近線，函數作圖。
要求：深刻理解中值定理的分析意義與幾何意義，會證明中值定理，學會用作輔助函數證明問題的方
法。會用中值定理論證問題；熟練掌握羅比達法則，并能迅速準確地計算出各種不定式極限；理解泰勒定
理的內容與意義，會用泰勒公式解題；掌握應用導數研究函數單調性、極值和凹凸性的方法。知道描繪函
數圖象的步驟和方法。
7．實數的完備性
（1）區間套定理，柯西收斂準則，聚點定理，有限覆蓋定理，致密性定理
（2）閉區間上連續函數的性質及證明
要求：理解描繪實數完備性的幾個定理的意義，并能運用它們論證一些理論問題。掌握閉區間上連續
函數的性質和有關命題證明的技巧。
8．不定積分
（1）原函數與不定積分的概念，基本積分表，線性運算法則
（2）換元積分法，分部積分法
（3）有理函數的積分法?？苫癁橛欣砗瘮档哪承╊愋秃瘮档姆e分
要求：掌握原函數與不定積分概念、不定積分的運算法則；掌握換元積分法與分部積分法、分解有理
函數為部分分式的方法；掌握某些可有理化函數的不定積分的求法。
9．定積分
（1）定積分的概念，牛一萊定理
（2）可積的必要條件，達布上下和，可積的充要條件，可積函數類
（3）定積分的性質：線性性質，區間可加性，單調性，絕對可積性，積分第一、第二中值定理
（4）微積分學基本定理。換元積分法與分部積分法。泰勒公式的積分型余項
要求：深刻理解定積分的概念與意義。理解可積分的必要條件、充要條件，初步掌握判斷函數是否可
積的基本方法；熟練掌握定積分的性質，并能用它證明某些有關問題；深刻理解微積分學基本定理的意義，
并具有應用它證明有關定積分問題的能力；熟練掌握與應用牛一萊公式，熟練掌握計算定積分的基本方法
和技巧。
10．定積分的應用
（1）平面圖形之面積，由截面之面積求立體體積
（2）平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積
（3）功，液體的壓力，引力
要求：熟練地應用定積分來計算平面圖形的面積，曲線弧長及曲率，旋轉體的表面積與體積，以及掌
握由截面面積函數求體積的基本方法；能運用定積分解決某些物理問題。
11．反常積分
（1）無窮限反常積分
（2）無界函數的反常積分
要求：深刻理解反常積分的各類收斂性概念，掌握反常積分的收斂判別法。
12．數項級數
（1）級數的收斂性與和的概念，柯西收斂準則，收斂級數的基本性質
（2）正項級數收斂性的一般判別法，比式判別法與根式判別法，積分判別法
（3）絕對收斂與條件收斂，交錯級數，萊布尼茲判別法，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法
要求：掌握級數斂散性定義及意義，熟練掌握級數斂散性判別法；掌握收斂級數與絕對收斂級數的性
質，具有應用級數收斂性定義和收斂級數的性質證明級數中一些理論問題的能力。
13．函數列與函數項級數
（1）函數列與函數項級數的收斂性與一致收斂性，一致收斂的柯西準則，M 一判別法，阿貝爾判別
法，狄利克雷判別法
（2）函數列極限函數與函數項級數的和函數的連續性、逐項積分與逐項微分
要求：深刻理解一致收斂概念，熟練掌握一致收斂定義及其否定敘述，并能用一致收斂定義或判別法
判斷函數項級數的一致收斂性；牢記有關性質定理的條件，并能用它們討論和函數（或極限函數）的分析
性質。
14．冪級數
（1）阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的性質：收斂區間內閉一致收斂性、連續性、逐項
積分與逐項微分，四則運算
§2．初等函數的冪級數展開
要求：掌握冪級數的性質，會求收斂半徑，會求一些冪級數的和函數；記住某些典型的初等函數的冪
級數展式，并能將一些簡單函數展成冪級數。
15．Fourier 級數
（1）三角級數，三角函數系的正交性，付里葉級數，以 2L 為周期的付里葉級數，收斂定理。
（2）以 2L 為周期的函數的付氏級數，偶函數與奇函數的付氏級數。
（3）收斂定理的證明。
要求：理解收斂定理的意義；會將若干函數展成付里葉級數；會利用某些展式求一些特殊數項級數的
和。
16．多元函數的極限與連續
（1）二元函數的定義，二元函數的極限
（2）二元函數極限的局部性質，二元函數的連續性，有界閉區域上連續函數的性質
要求：掌握平面點集的一些概念：聚點、內點、開集、閉集、開域、閉域等。掌握平面點集的基本定
理。掌握二元函數定義，掌握重極限與累次極限定義；會求重極限與累次極限；掌握累次極限換序的條件；
掌握二元函數連續與一致連續的定義，以及有界閉域上連續函數的性質。
17．多元函數微分學
（1）可微性與全微分的概念，偏導數的定義與幾何意義，全微分存在條件，可微性的幾何意義
（2）復合函數的偏導數，復合函數的全微分，一階微分形式的不變性
（3）方向導數與梯度
（4）高階偏導數，二元函數的中值定理與泰勒公式，二元函數的極值
要求：掌握偏導數的定義及求偏導數的運算；理解全微分的概念及意義，會求多元函數的全微分；能
夠將簡單的二元函數展成泰勒公式，掌握二元函數的中值定理；會求二元函數的局部極值和最大（?。┲?。
掌握方向導數定義，會求方向導數。
18．隱函數定理及其應用
（1）隱函數定理，隱函數求導法
（2）隱函數組定理、隱函數組求導法，反函數組與坐標變換
（3）平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線
（4）條件極值與拉格朗日乘數法
要求：理解隱函數的概念與意義，掌握由一個方程確定隱函數的充分條件；知道二元函數組在一點的
鄰域內存在反函數組的條件，會求隱函數及隱函數組的導數或偏導數及高階導數或偏導數；會求函數組的
函數行列式，并掌握函數行列式的性質；會求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面
的切平面與法線；掌握條件極值的必要條件，并會用拉格朗日乘數法求條件極值。
19．含參量積分
（1）含參量正常積分的概念和性質
（2）含參量非正常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則，維爾斯特拉斯判別法，連續性，
可微性，可積性
（3）歐拉積分（ ? 函數和 B 函數）
要求：掌握含參量正常積分的概念、連續性、可積性與可微性，積分順序的交換；掌握含參變量非正
常積分所定義的函數的分析性質及其證明。掌握含參量非正常積分的一致收斂定義及其判別法，會應用積
分號下可微性和可積性來計算一些非正常積分的值；會用? 函數和 B 函數計算一些積分的值。
20．曲線積分
（1）第一型曲線積分
（2）第二型曲線積分
要求：掌握第一型曲線積分的概念及物理意義，熟練計算第一型曲線積分；掌握第二型曲線積分概念，
會計算第二型曲線積分。
21．重積分
（1）二重積分的定義，二重積分的性質與計算
（2）格林公式，曲線積分與路徑無關的條件
（3）二重積分的換元積分法：極坐標變換與一般坐標變換
（4）三重積分的定義與計算，三重積分的換元積分法：柱坐標變換，球坐標變換，一般坐標變換
（5）重積分的應用
要求：掌握二重積分的定義、可積條件、性質，幾何意義；掌握格林公式的條件與結論，并會證明和
應用格林公式；掌握曲線積分與路線無關的條件,并能用它計算第二型曲線積分；掌握二重積分的計算方
法；掌握三重積分的定義、物理意義及性質，能靈活地運用柱坐標變換和球坐標變換計算三重積分；能用
重積分解決一些幾何與物理問題。
22．曲面積分
（1）第一型曲面積分
（2）第二型曲面積分
（3）高斯公式與斯托克斯公式
要求：掌握第一型曲面積分的概念及物理意義，能熟練計算第一型曲面積分；掌握第二型曲面積分概
念及性質，會計算第二型曲面積分；掌握高斯公式與斯托克斯公式的條件與結論，并會證明定理, 會運用
這兩個定理解決問題。
23．向量函數微分學
（1） n 維歐式空間和向量函數
（2）向量函數的微分
（3）反函數定理和隱函數定理
要求：掌握向量函數、向量函數極限、連續、一致連續的概念；掌握向量函數可微性與可微的條件，
可微函數的性質，極值的必要條件。掌握反函數定理及其應用。
三、試卷題型
填空題、單項選擇題、計算題、證明題。
四、考試方式及時間考試方式：采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
五、主要參考書
《數學分析》（第四版，上、下冊），華東師范大學數學系，北京：高等教育出版社，2010 年 7 月。

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