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847 高等代數
1．考試內容
1. 一元多項式理論：最大公因式與因式分解，重因式，不可約多項式，復數域上的不可
約多項式，實數域上的不可約多項式，有理系域上的不可約多項式，多元多項式環。
2. 行列式：行列式的定義，行列式的計算及性質，Laplace 展開定理。
3. 線性方程組理論：Cramer 法則，Gauss 消元法，n 維向量的線性相（無）關性，向量
組的秩和矩陣的秩，線性方程組有解的判別，線性方程組解的結構。
4. 矩陣：矩陣的混合運算，方陣的行列式，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，正交矩
陣，歐幾里得空間 n
? 。
5. 矩陣的相抵與相似：矩陣的相抵，廣義逆矩陣，矩陣的相似，矩陣的特征值和特征向
量，矩陣可對角化的條件，實對稱矩陣的對角化。
6. 二次型：二次型及其標準形，實二次形的規范形，正定二次型與正定矩陣。
7. 線性空間：線性空間的結構，子空間以及子空間的交與和，子空間的直和，線性空間
的同構，商空間。
8. 線性映射：線性映射及其運算，線性映射的核與象，線性映射的矩陣表示，線性變換
的特征值與特征向量，線性變換的不變子空間，Hamilton-Cayle 定理，線性變換的最小
多項式，冪零變換的結構，線性變換的 Jordan 標準形，線性函數與對偶空間。
9. 具有度量的線性空間：雙線性函數，歐幾里得空間，正交補和正交投影，正交變換與
對稱變換，酉空間。
2．考試要求
①了解：代數基本定理，復系數與實系數多項式的因式分解定理，高斯引理，廣義逆矩
陣，線性空間的同構，正交變換。
②理解：Laplace 展開定理，n 維向量的線性相（五）關性，矩陣的秩，矩陣的可逆性，
實二次型的分類，線性空間的維數，線性變換的值域與核，線性變換的 Jordan 標準形。
③掌握：行列式的計算，線性方程組解的判別、求解及解的結構，求可逆矩陣的逆矩陣，
利用分塊方法計算矩陣，求標準正交基，矩陣的對角化，實對稱矩陣的對角化，化簡二
次型的方程，二次形的正（負）定性判別，求線性空間的維數與基底，基變換與坐標變
換，子空間的交與和，子空間的直和，求線性變換的不變子空間，Hamilton-Cayle 定理，
線性變換的最小多項式，冪零變換的結構，線性變換的 Jordan 標準形，求線性映射的矩
陣表示，線性映射的特征值與特征向量，雙線性函數，正交變換與對稱變換，
3．參考書目
1.《高等代數》（第二版，上冊），丘維聲，高等教育出版社，2002 年 7 月
2.《高等代數》（第二版，下冊），丘維聲，高等教育出版社，2003 年 8 月
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