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2018 年北京科技大學招收碩士研究生考研大綱
《高等代數 I》考研大綱
一、課程教學基本要求
1．課程重點：
高等代數主要分為以下部分:矩陣,線性空間，線性變換,多項式理論，線性方程組理論，
行列式.
矩陣理論的重點在矩陣的運算、分塊矩陣.
線性空間理論的重點在線性空間的概念、向量的線性關系、基、維數、坐標以及線性空
間的直和分解.
線性變換的重點是線性變換的像、核求法以及不變子空間的判定.
多項式理論的重點在多項式的整除性，及多項式的因式分解理論.
線性方程組理論的重點在線性方程組的解的結構和求解的算法.
行列式的重點在行列式的計算.歐氏空間、二次型等內容上.
矩陣與行列式是研究線性關系的重要工具，也是課程的重點內容之一，矩陣的方法貫穿
課程的始終.
2．課程難點：
本課程的難點很多，從知識上講，線性空間的概念、向量的線性相關性、線性映射，多
項式在有理數域的分解、方程組解的判定、二次型正定的判定等等；從方法上講，高等代數
課程解決問題的方法比較靈活，技巧性比較強，是不易學習和掌握的.
3．能力培養要求：
要求學生熟練掌握線性空間和線性變換的基本理論，熟練掌握矩陣的初等變換、行列式
這種重要的數學工具，掌握多項式的因式分解理論、向量組線性相關及線性無關理論.初步
掌握線性代數的方法和技巧.
二、課程教學內容與學時
1．預備知識
熟悉基本的概念：集合及運算，等價關系，映射、數域；
2．多項式
2.1 多項式，帶余除法，整除性
掌握帶余除法，多項式的整除性.
2.2 最大公因式
了解公因式的概念，掌握最大公因式的定義、性質、算法.
2.3 因式分解
了解多項式的唯一分解定理，了解重因式及其判斷方法、掌握不可約多項式及性質.
2.4 多項式的根
熟練掌握余式定理及其應用.
2.5 復系數、實系數多項式
掌握代數學基本定理，了解復系數、實系數多項式在相應數域中的分解形式，掌握根與
系數的關系定理.
2.6 整系數多項式
了解本原多項式的概念及 Gauss 引理，掌握 Eisenstein 判別法.
3．矩陣
3.1 矩陣的概念及運算
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了解矩陣的背景，熟練掌握矩陣的和、差、數乘、乘法、轉置運算.
3.2 矩陣的初等變換
熟練掌握矩陣的初等變換，掌握初等方陣與初等變換的關系.
3.3 矩陣的相抵
了解掌握矩陣相抵的概念、相抵的標準形、矩陣的逆及其計算方法.
3.4 分塊矩陣
了解分塊矩陣的概念及矩陣的分塊運算.
3.5 矩陣的秩
熟練掌握運用矩陣的秩的定義，以及秩的基本性質.
4. 線性空間
4.1 線性空間
掌握線性空間的概念及重要的線性空間實例.
4.2 向量的線性相關性
理解向量的線性相關、線性無關的概念，并能熟練掌握和使用線性相關性的重要結果.
4.3 基、維數、坐標、坐標變換
理解和掌握基、維數的概念，掌握坐標變換及過渡矩陣的計算.
4.4 線性子空間
了解構成線性子空間的條件.
4.5 子空間的和與交、直和
掌握子空間的和與交的運算，掌握直和的概念及直和的等價條件.
4.6 線性空間的同構
了解線性空間同構的概念，掌握線性空間由其維數決定的結論.
5.線性變換
5.1 線性映射
掌握線性映射的定義及矩陣表示，理解掌握線性映射的象與核的概念及相關結果.
5.2 線性映射的像與核
掌握線性映射的像與核的概念，以及與基和維數的關系.
5.3 線性變換
掌握線性變換的定義及矩陣表示，掌握線性變換的運算.
5.4 不變子空間
掌握不變子空間的定義及相關結論.
5.5 特征值與特征向量
掌握線性變換的特征值與特征向量的定義與性質，并可以根據線性變換的特點計算該變
換的特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的條件.
6． 歐氏空間
6.1 內積
熟練掌握內積的定義及性質.
6.2 標準正交基
掌握度量矩陣、標準正交基的定義，以及正交化方法.
6.3 正交子空間
6.4 正交變換
了解正交變換的概念與意義.
6.5 對稱變換
掌握對稱變換的定義及相關結論.
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7． 二次型
7.1 二次型的定義
7.2 二次型的標準形
掌握慣性定理，了解和掌握在實數域、復數域中二次型的規范型.
7.3 正定二次型
掌握二次型的定性，及正定、半正定的充要條件.
8． 線性方程組
8.1 Gauss 消元法
熟練掌握 Gauss 消元法，了解線性方程組的解的形式.
8.2 線性方程組
熟練掌握線性方程組的解的結構及求解方法.
9． 行列式
9.1 行列式的定義
了解逆序的概念，掌握行列式的定義.
9.2 行列式的性質與計算
熟練掌握行列式的性質，掌握行列式按行列展開的方法，能夠熟練計算行列式的值.
9.3 行列式理論的應用
掌握 Crame 法則，能夠利用行列式解決以前各章出現的相關問題.
10． 相似標準形
10.1 特征值與特征向量的計算
熟練掌握特征值與特征向量的計算.
10.2 對稱矩陣的標準形的計算
熟練計算對稱矩陣的標準形
10.3 特征多項式與最小多項式
了解特征多項式與最小多項式的概念及性質，矩陣對角化的條件.
10.4 Jordan 標準形
掌握 Jordan 標準形的定義、推導、計算.
10.5 Jordan 標準形的又一推導
了解λ -矩陣、初等因子、不變因子的概念，了解利用λ -矩陣計算矩陣 Jordan 標準形的
方法.
三、教材與參考書
教材
1.申亞男、李為東編著，《高等代數》，機械工業出版社，2015 年 9 月第 1 版
2．北京大學幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》，高等教育出版社 1991，第 3 版
參考書
1. 許以超編，《線性代數與矩陣論》，高等教育出版社，1992 年，第 1 版
2. 屠伯塤, 徐誠浩, 王芬編，《高等代數》，上海科技出版社，1987 年，第 1 版
3. 丘維聲編，《高等代數》，高等教育出版社，1996 年，第 1 版
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