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2018 年碩士研究生招生考試試題
科目代碼及名稱: 822 高等代數 適用專業：應用數學
（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）
1、（15 分）判斷多項式 5 3 2
( ) 4 3 2f x x x x x? ? ? ? ? 在實數域上有無重因式，若
有的話，求出重因式并指出其重數。
2、（20 分）計算下列n 級行列式
（1）
1 1 1 1
0 0 2 1
0 1 0 1
0 0 1
n
n
?
L
L
M M M M
L
L
， （2）
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
L
L
L
M M M O M M
L
L
.
3、（20 分）k 取何值時，線性方程組
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 3 3
3 2
x x x
x x kx
x kx x
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ??
無解？有唯一解？有無窮多解？當有解時，求出其一切解。
4 、（ 15 分 ） 在 實 數 域 內 ， 用 非 退 化 線 性 替 換 化 二 次 型
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 4 2 2f x x x x x x x x x? ? ? ? 為規范形（寫出所作的非退化線性替換）.
5、（15分）設有向量組
? ? ? ? ? ?1 2 3
1, 0, 2,1 , 2, 0,1, 1 , 3, 0,3, 0? ? ?? ? ? ? ;
? ? ? ?1 2
1,1, 0,1 , 4,1,3,1? ?? ? .
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2018 年碩士研究生招生考試試題
科目代碼及名稱: 822 高等代數 適用專業：應用數學
（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）
令 ? ? ? ?1 1 2 3 2 1 2
, , , ,V L V L? ? ? ? ?? ? . 求 1 2
V V? 的維數和一組基.
6、（15 分）設 3 0AXB C D? ? ? ，求矩陣X ，其中
2 1 1
1 1 1
3 2 1
A
?? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
，
1 0 0
0 0 1
0 1 0
B
? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
，
1 0 2
0 2 1
2
3 3
3
C
? ?
? ?? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?? ?
? ?
，
2 0 3 2
0 7 3
3 3 2 8
D
? ?? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?? ?
.
7、（15 分）設 A 為n 級方陣. 證明：若任意非零n 維向量都是A 的特征向量，
則 A 是數量矩陣。
8、（20分）設? 是n 維歐氏空間V 的線性變換，證明下面三個命題相互等價：
(1)? 是正交變換；
(2)? 保持向量的長度不變，即對于任意 V? ? ， ?? ?? ；
(3)如果 1 2
, , , n
? ? ?L 是標準正交基，那么 1 2
, , , n
?? ?? ??L 也是標準正交基.
9、（15 分）設 1
, , n
? ?L 為一線性無關的向量組,? 為向量.證明要么向量組
1
, , n
? ? ? ?? ?L 線性無關, 要么向量組 1
, , n
? ? ? ?? ?L 線性無關.
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