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2018 年碩士研究生招生考試試題
科目代碼及名稱:623 量子力學 適用專業：理論物理 凝聚態物理
（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）
一、填空題 (每題 4 分，共 20 分)
1. 微觀粒子具有波粒二性，即微觀粒子既有粒子性又有波動，其中粒子性是指微觀粒子具
有 等屬性，波動性是指粒子具有 等屬性。
2.波函數 ( , )r t?
?
的統計解釋是__________________________________________________，
波函數的標準條件是___________________________。
3.以力學量坐標 ?x 和 ? x
p 為例，它們滿足的對易關系為____________，可知兩個力學量的測
不準關系為__________________。
4. 全同性原理是指___________________________________________________________，
它要求全同粒子體系的波函數必須滿足________________________。
5.在 ?
z
S 表象中，粒子某自旋態表示為
11
12
? ?
? ?
? ?
，在該態中 ?
z
S 的可能值為________和_____,
其相應概率分別為_______和_________。
二、簡答題(每題 10 分，共 30 分)
1．給出薛定諤方程和定態薛定諤方程并闡明定態的特點。
2．簡述力學量算符的厄米性及力學量用算符表示的含義。
3．已知質量為 ? 的粒子處于一維諧振子勢場 2 21
2
( )V x x??? 中運動，如果 t = 0 時粒子處
于態 1 2
0 23 3
( ,0)= ( ) ( )x x x? ? ?? ，其中 0
( )x? 與 2
( )x? 分別為一維諧振子基態與第二激發
態的能量本征函數，請給出（1）t 時刻粒子所處的狀態 ( , )x t? ，（2）粒子能量的可能值及
相應的概率。
三、證明題 (每題 10 分，共 20 分)
1.已知角動量分量算符 ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ,x z y y x z z y x
L yP zP L zP xP L xP yP? ? ? ? ? ? ，基于坐標和動量算符的
對易關系? ?? ?,x p i z? ? ,證明 ? ? ?,x y z
L L i L? ? ?
? ?
? 。
2. 證明厄米算符的本征值為實數。
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（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）
四、計算題（本題 20 分）
有一個質量為 m 的粒子處在一維無限深勢阱 ,
( )
0,
x a
V x
x a
?? ??
? ?
???
，基于薛定諤方程和邊界
條件試求粒子的能級和歸一化波函數。
五、計算題（本題 20 分）
一維運動粒子的狀態是
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
x
xAxe
x
x
當
當
?
? ，其中 0?? ，求：(1)粒子動量的幾率分
布函數；(2)粒子的平均動量。 （
0
!
k x
x e dx k
?
?
?? ）
六、計算題（本題 20 分）
求勢場為 2 21
2
( )V x x??? 的線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。
七、計算題（本題 20 分）
轉動慣量為 I、電偶極矩為 D
?
的空間轉子，處在均勻電場在 ?
?
中，勢能為 cosU D? ?? ? 。
如果電場較小，用微擾法求轉子基態能量的一級修正。（無外場時轉子的基態本征函數為
00
1
( , )
4
Y ? ?
?
? ）
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