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碩士研究生招生考試業務課考研大綱
考試科目： 量子力學 科目代碼： 623
一、參考書目：周世勛，《量子力學教程》（第二版），高等教育出版社，2009 年
二、考試內容范圍：
(一) 波函數和薛定諤方程
1、 微觀粒子波粒二象性，德布羅意關系式。
2、 波函數及波函數統計解釋，波函數標準條件與歸一化，自由粒子波函數箱歸一化。
3、 態迭加原理。
4、 幾率流密度和粒子數守恒定律。
5、 薛定諤方程，定態薛定諤方程，定態波函數特點與形式，哈密頓量不顯含 t 體系波函數的時間演
化。
6、 一維勢問題的定態薛定諤方程求解，包括方勢阱、勢壘貫穿、一維線性諧振子勢等。
(二) 力學量與算符
1、量子力學關于力學量基本假設
①量子力學中力學量是用厄米算符表示。
②厄米算符本征函數是正交，完備的。
③在狀態 ),( tr
?
? 中，測量某一力學量 F，測到的值只能是此力學量對應的厄米算符 F? 的本征值
譜中一個；測到力學量 F 為某本征值的幾率，與狀態 ),( tr
?
? 用厄米算符 F? 的本征函數展開式
中與該本片值對應的本征函數前的系數模平方成正比。
2、算符與力學量的關系、力學量算符的對易關系及物理含義
3、有關算符對易的定理：幾個算符對易，則有共同的、完備的本征函數，逆定理成立。
4、厄米算符，泊松括號，算符對易，常用幾個對易關系：
① 0],[ ?ji
xx ；② 0]?,?[ ?ji
PP ；③ ijji
iPx ???]?,?[ ；④ ijkkji
LiLL ??]?,?[ ?? ；
⑤ ]?,?[
2
i
LL =0；⑥ xjkkji
xiLx ???]?,?[ ；⑦ ijkkji
PiLP ??]?,?[ ?? ；
⑧ z
LLH ?.?.? 2
0
二二對易，其中 0
?H 為氫原子的哈密頓算符。
5、庫侖場的特點及電子在庫侖場中的運動、氫原子問題與其定態薛定諤方程求解。
6、厄米算符的本征方程與求解。常用幾個算符： r
?
， P? ， 2?L ， Z
L? ，常用哈密頓算符 H? （一維無限深
勢阱、一維諧振子、氫原子、剛體轉動）的本征函數與本征值。力學量平均值求法。
7、一般測不準關系式： kiGF ?]?,?[ ? 時，則
4
??
2
22 k
GF ???? 。位置與動量的測不準關系；能量與時間
2
的測不準關系。
（三） 態和力學量表象
1、態的表象，表象基矢，自身表象，三個基本表象，坐標表象、動量表象、能量表象。
2、算符和量子力學公式的矩陣表示，矩陣本征方程求解。
3、不同表象間變換，么正變換，么正變換的性質
① 二個表象基矢之間的變換，么正變換矩陣 S。
② 同一態矢在二個表象的不同表示之間的變換。
③ 同一算符在二個表象的不同矩陣之間的變換。
4、狄喇克符號的使用。
5．了解一維諧振子占有數表象與產生 a
+
、消滅算符 a 以及有關的公式。
（四）力學量隨時間的演化與對稱性
1、力學量隨時間的演化，守恒量。
2、二個定理：位力定理，Ehrenfest 定理。
（五）近似方法
1、微擾理論
① 非簡并微擾下，能級的一級修正、二級修正的公式，波函數的一級修正公式。
② 簡并微擾下，能級的一級修正求法，波函數 O 級的求法。
③ 含時微擾下躍遷幾率一般公式，在偶極近似下，躍遷幾率求法。
2、愛因斯坦關于光發射與吸收的理論，三個系數：自發發射系數，受激發射系數，吸收系數。在
偶極近似下，三個系數與躍遷幾率關系。
3、變分法一般原理，里茲（Ritz）變分法。
（六） 自旋與全同粒子
1、電子自旋角動量、自旋磁矩假設。
2、電子自旋算符 S? 、泡利算符?? ，它們各自對易關系。
3、在
2?S ， z
S? 表象下：
①
2?S ， z
S? 共同本征函數及對應本征值；
② x
S? ， y
S? ， z
S? 與 x
?? ， y
?? ， z
?? 的矩陣表示，它們對應的本征方程求解。
③ 含自旋的算符形式 ??
?
?
??
?
?
?
2221
1211
GG
GG
G 。
4、電子一般自旋波函數，電子含自旋的總的波函數。
5、電子一般自旋波函數的正交歸一；電子含自旋的總波函數的正交歸一；含自旋算符的平均值
求法。
3
6、二個角動量耦合： 21
??? JJJ ??
① J? 與 1
?J ， 2
?J 對易關系
② z
J 1
? ， z
J 2
? ， 2
1
?J ， 2
2
?J 的共同本征函數，無耦合表象基矢? ?2211
mjmj ，
2?J ， z
J? ， 2
1
?J ， 2
2
?J 的共同本征函數，耦合表象基矢? ?jmjj 21
無耦合表象與耦合表象基矢之間關系，C-G 系數
7、全同粒子，
① 全同性原理；全同粒子波函數特點——具有交換對稱性。
② 忽略粒子間相互作用，如何用單粒子態 )( in
q? 來組成全同粒子體系的波函數。
③ 忽略空間與自旋間相互作用，如何用空間與自旋波函數組成全同粒子總波函數。
④ 兩個電子的自旋函數，三重態，單重態。
三、試卷結構及題型比例：
有判斷題、填空題、證明題、計算題、問答題等，共 150 分，考試時間 3 小時。
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