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《數學分析》考研大綱
一、參考書目
《數學分析》（第三版，上下冊），華東師范大學數學系編，高等教育出版社
二、考試內容范圍
第一部分 集合與函數
1、集合
實數集 ? 、有理數與無理數的調密性，實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區間套定
理、聚點定理、有限復蓋定理。平面上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有
界（無界）集、平面上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列等。
2、函數
函數、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數概念，反函數與逆變換，反函數存在性定理。
初等函數以及與之相關的性質。
第二部分 極限與連續
數列極限
數列極限的 N? ? 定義，收斂數列的基本性質（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質）
數列收斂的條件（Cauchy 準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關系），
極限
1
lim (1 )
n
n
e
n? ?
? ? 及其應用。
函數極限
各種類型的一元函數極限的定義（? ?? 、 M? ? 語言 ），函數極限的基本性質（唯一性、
局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性），歸結原則和 Cauchy 收斂準則，兩個重要極限：
sin 1
0
lim 1, lim (1 )
xx
x x
x x
e
? ? ?
? ? ? 及其應用，計算一元函數極限的各種方法，無窮小量與無窮大
量、階的比較，記號 о 與 O 的意義。多元函數重極限與累次極限概念、基本性質，二元函
數的二重極限與累次極限的關系。
函數的連續性
函數連續與間斷的概念，一致連續性概念。連續函數的局部性質（局部有界性、保號性），
有界閉集上連續函數的性質（有界性、最值可達性、介值性、一致連續性）。
第三部分 微分學
1、一元函數微分學
（i）導數與微分
導數概念及其幾何意義，可導與連續的關系，導數的各種計算方法，微分及其幾何意義、可
微與可導的關系、一階微分形式不變性。
（ii）微分學基本定理及其應用
Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余項與 Lagrange
余項)及應用，函數單調性判別法，極值、最值、曲線凹凸性討論。
2、多元函數微分學
（i）偏導數與全微分
偏導數、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續之間的關系，復合函數的偏導數與全
微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，高階偏導數，混合偏導數與順序無關性，二
元函數中值定理與 Taylor 公式。
(ii) 隱函數定理與多元微分的應用
隱函數存在定理的應用，隱函數組存在定理的應用，隱函數（組）求導方法，反函數組與坐
標變換。幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法
線）。極值問題研究（必要條件與二元極值的充分條件），條件極值與 Lagrange 乘數法的應
用。
第四部分 積分學
一元函數積分學
(i)不定積分
原函數與不定積分概念、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法等）。
(ii)定積分
定積分概念與幾何意義 ，可積條件（必要條件、充要條件： i i
x? ?? ?? ），可積函數類。
定積分性質（關于區間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理）
變上限積分函數，微積分基本定理，N-L 公式及定積分計算，定積分第二中值定理應用。
(iii)廣義積分
無限區間上的廣義積分概念、Canchy 收斂準則，絕對收斂與條件收斂。 ( )f x 非負時
( )
a
f x dx
??
? 的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）， Abel 判別法，Dirichlet 判別法。
無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法。
(iv)定積分的應用
微元法思想。幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋
轉體體積），其他應用。
多元函數積分學
（i）重積分與含參量積分
二重積分概念及其幾何意義，二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）。
三重積分概念，三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）。重積分的應用（體
積、曲面面積、重心、轉動慣量等）。含參量正常積分及其連續性、可微性、可積性，運算
順序的可交換性。含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續性、可
微性、可積性，運算順序的可交換性。
(ii) 曲線積分與曲面積分
第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算，第二型曲線積分概念、性質、計算。
Green 公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、
計算。奧高公式、Stoke 公式。兩類線積分、兩類面積分之間的關系。
第五部分 級數
1、數項級數
級數及其斂散性，級數的和，Canchy 準則，收斂必要條件，收斂級數基本性質。正項級數
收斂的充要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式。交錯級數的
Leibniz 判別法。一般項級數的絕對收斂、條件收斂性 ，Abel 判別法，Dirichlet 判別法
2、函數項級數
函數列與函數項級數的一致性收斂性，Cauchy 準則，一致收斂性判別法（M-判別法、Able
Dirichlet 判別法）。一致收斂函數列、函數項級數的性質及其應用。
冪級數
冪級數概念、Abel 定理、收斂半徑與區間，冪級數的一致收斂性，冪級數的逐項可積性、
可微性及其應用，冪級數各項系數與其和函數的關系。函數的冪級數展開。
三、試卷結構及題型比例
試卷題型：計算題、證明題和綜合題
試卷滿分：150 分
四、考試時間和考試方式
考試時間：180 分鐘（3 小時）；
考試方式：閉卷筆試；所列題目全部為必答題。
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