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《實分析》考博大綱 科目代碼：2092
基本內容與要求：
《實分析》在很多高校都是作為一級學科基礎課為研究生開設的課程，著重介紹一般測度論，
抽象 Lebesgue 積分理論，符號測度與微分，L^p 空間，Radon 測度，分布理論，等等。另外,實分
析理論中經常應用來自泛函分析中的一些基本定理，例如 Hahn-Banach 延拓定理，開映射定理，共
鳴定理，等等。以上所述內容都是現代分析的重要基礎，也是數學專業人才在后續學習和科研中的
必備基礎。
《實分析》是數學學院博士生入學考試課程中的分析類科目，要求學生掌握現代分析的基本思
想和基本方法，熟悉現代分析的基本理論。考試內容將涵蓋研究生《實分析》課程的主要內容和《泛
函分析》的經典內容。
本科目的考博大綱如下：
1) 一般測度論：σ -代數，測度，外測度及擴張定理；
2) 抽象 Lebesgue 積分理論：可測函數，抽象 Lebesgue 積分和可積函數空間 L^1，處理極限
和積分交換順序的基本定理（單調收斂定理，Fatou 引理，Lebesgue 控制收斂定理），依
測度收斂與幾乎處處收斂相互關系的結論，乘積測度和 Fubini-Tonelli 定理。
3) 符號測度及微分：符號測度，復測度及絕對連續，Lebesgue-Radon-Nikodym 定理，Lebesgue
微分定理，絕對連續函數，有界變差函數。
4) 泛函分析基礎：Hahn-Banach 延拓定理及重要推論，開映射定理，閉圖像定理，共鳴定理，
Hilbert 空間中的 Riesz 表示定理，射影定理。
5) L^p 空間：基本理論和基本的常用不等式，L^p 空間的對偶空間，Riesz-Thorin 定理，
Marcinkiewicz 內插定理
6) Radon 測度：Riesz 表示定理，C_0(X)的對偶
7) 分布理論基礎
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