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《數值分析》考博大綱 科目代碼：2002
基本內容與要求：
1. 數值分析的研究對象和內容
2. 誤差知識與算法知識
3. 向量范數和矩陣范數
一、 線性方程組的解法
1. Guass 消元法，包括：順序 Guass 消元法、選列主元 Guass 消元法；
2. 矩陣三角分解法. 包括：直接三角分解法、選主元的 Dolittle 分解、
稀疏方程組的解法；
3. 病態方程組。包括：矩陣條件數與方程組的性態、病態線性方程組
的處理；
4. 迭代解法。包括：簡單迭代法及其收斂性、Jacobi 迭代法、Gauss
－Seidel 迭代法、SOR 迭代法。
二、 矩陣特征值與特征向量的計算
1. 冪法和反冪法
2. 矩陣的 QR 分解
三、 非線性方程與方程組的迭代解法
1. 非線性方程的迭代法。包括：簡單迭代法的收斂性及收斂速度、
Newton 迭代法
2. 非線性方程組的迭代法。包括：簡單迭代法及收斂性、Newton 迭代
法和離散 Newton 迭代法
四、 插值與逼近
1. 代數插值。包括：一元函數的 Lagrange 插值和 Newton 插值、插值余項、
分段低次插值
2. Hermite 插值。包括：Hermite 插值多項式的構造、余項估計和分段三
次 Hermite 插值。
3. 樣條插值。包括：樣條插值的概念、三次樣條插值的三彎矩方法
4. 正交多項式。包括：正交多項式的定義、性質
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5. 函數的最佳平方逼近及最小二乘擬合。包括：最佳平方逼進的基本理論、
正交多項式系在最佳平方逼近中的應用、曲線擬合、離散型正交函數系
在最小二乘擬合中的應用
6. 曲面插值和擬合
五、 數值積分
1. 數值積分的基本概念
2. 插值型求積公式
3. 求積公式的收斂性及數值穩定性
4. 復化求積公式
5. Guass 型求積公式
六、常微分方程初值問題的數值解法
1. 顯式單步法。包括：顯式單步法的一般形式、 Runge－Kutta 法及其
相容性、收斂性和穩定性分析。
2. 線性多步法。包括：線性多步法的一般形式、預估－校正法、相容
性、收斂性和穩定性分析。
3. 常微分方程初值問題的數值解法。包括：算法的計算公式、穩定性
分析。
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